想象你面前有一張巨大的白紙，上面畫(huà)了很多線(xiàn)，每條都指向不同的方向。

突然一陣風(fēng)吹過(guò)，一些灰塵落在紙上。

此時(shí)一位樂(lè)于助人的數(shù)學(xué)家出現(xiàn)，告訴你某一條線(xiàn)上有多少灰塵。

你能根據(jù)這一信息，算出所有線(xiàn)條上總共有多少灰塵嗎？

以上這個(gè)數(shù)學(xué)難題來(lái)自弗斯滕伯格集合猜想（the Furstenberg set conjecture）。

它于 1999 年誕生，至今已有 24 個(gè)年頭 ——

盡管在數(shù)學(xué)史上還算年輕，但它看起來(lái)也不簡(jiǎn)單。

不過(guò)，好消息：

普林斯頓二年級(jí)研究生 Kevin Ren 和紐約大學(xué)王虹教授已經(jīng)將它完整證明出來(lái)了。

并且有意思的是，倆人此前素未謀面，是在各自的研究中“不謀而合”地想到了同一方法，然后才合作發(fā)表了這篇成果。

華人師生解決誕生于 1999 年的數(shù)學(xué)猜想

要解決這個(gè)猜想，必須得先掌握豪斯多夫維數(shù)的概念。

通俗的來(lái)說(shuō)，最接近這個(gè)想法的數(shù)學(xué)模型是拓?fù)渚S度。

對(duì)于日常物體，比如直線(xiàn)、長(zhǎng)方形，它們的拓?fù)渚S度（以及豪斯多夫維數(shù)）必然是整數(shù)（分別為 1、2）。

但是這個(gè)概念在描述某些不規(guī)則的集合比如分形的時(shí)候遇到了困難，而豪斯多夫維數(shù)則是一個(gè)描述這類(lèi)集合的恰當(dāng)工具。

在這些情況下，它可能為一個(gè)非整的有理數(shù)或者物理數(shù)。

比如科赫曲線(xiàn)（下圖為它的 4 次迭代過(guò)程），每一部分都由 4 個(gè)跟它自身比例為 1:3 的形狀相同的線(xiàn)組成，它的豪斯多夫維數(shù)就約等于 1.26。

從某種意義上來(lái)說(shuō)，這個(gè)數(shù)字意味著它比直線(xiàn)“大”，但又比二維物體要小。

說(shuō)回開(kāi)頭的題目。

最早提出該問(wèn)題的其實(shí)是加州理工學(xué)院的數(shù)學(xué)家托馬斯?沃爾夫 (Thomas Wolff) 。

他同時(shí)給出了最小灰塵量的猜測(cè)。

根據(jù)題目中那位數(shù)學(xué)家給你的數(shù)字，我們能得出一條特定線(xiàn)條上看到的所有灰塵的最小豪斯多夫維數(shù)。

我們將它命名為 s。

沃爾夫證明，所有灰塵的豪斯多夫維數(shù)必須至少為 s + ? 或 2s（以較大者為準(zhǔn)）。

不過(guò)他表示他只是提供了證明，這個(gè)結(jié)論不確定是誰(shuí)先得出的。

而他本人懷疑最終極限可能比該結(jié)果還要高：

至少為 (3s+1)/2。

這個(gè)懷疑又被數(shù)學(xué)界命名為“弗斯滕伯格猜想”。

2020 年，還在 MIT 讀本科的 Kevin Ren 首次接觸到該猜想。

他在閱讀了數(shù)學(xué)家讓?布爾干 (Jean Bourgain) 的論文后，還是一頭霧水。

（該數(shù)學(xué)家于 2003 年在一個(gè)特殊例子上取得了一些進(jìn)展。）

不過(guò) Kevin Ren 一直沒(méi)有放棄這個(gè)問(wèn)題。

今年 6 月，他發(fā)現(xiàn)芬蘭于韋斯屈萊大學(xué)發(fā)表的一篇新論文又證明了該猜想的一個(gè)特例。

加上 2019 年 MIT 數(shù)學(xué)家拉里?古斯 (Larry Guth）與人合著的一篇論文中證明的特例，這讓他覺(jué)得：

如果以某種方式將這兩種特例結(jié)合起來(lái)，是不是能給出一個(gè)一般性的證明？

具體來(lái)看，2019 年的研究證明了一個(gè)猜想，即我們把一些從遠(yuǎn)處看間隔很遠(yuǎn)的線(xiàn)拉近來(lái)看，其實(shí)會(huì)呈現(xiàn)“密集的一簇”的形式（a dense bundle）。

而今年 6 月的論文則給出了相反的情況：

規(guī)則的線(xiàn)條無(wú)論放大或縮小多少，其維度看起來(lái)都是一樣的。

Kevin Ren 接下來(lái)的三周都在思考這個(gè)問(wèn)題，在做家務(wù)時(shí)他的腦子也在不斷想象著“穿過(guò)點(diǎn)的線(xiàn)組”。

很快，他的靈感來(lái)了。

他意識(shí)到，如果我們放大或縮小一組線(xiàn)條，它的整體看起來(lái)只能要么是亂亂的一團(tuán)（clumpy），要么是規(guī)則的一簇（regular）。

基于此，他就能夠拼湊出一個(gè)對(duì)無(wú)論什么樣的集合都有效的證明。

激動(dòng)的 Kevin Ren 趕緊聯(lián)系拉里?古斯（他在 MIT 指導(dǎo)過(guò) Kevin Ren），沒(méi)想到古斯告訴他：

他 2019 年那篇論文的合著者之一、紐約大學(xué)王虹教授也證明了。

不過(guò)神奇的是，倆人聯(lián)系上后才發(fā)現(xiàn)：

他們的想法可謂不謀而合，用到的策略是那么驚人地相似。

既然如此，他們選擇合并各自的論點(diǎn)，共著一篇論文發(fā)表。

最后，來(lái)自萊斯大學(xué)的 Nets Katz 教授（也參與了該猜想的研究）評(píng)價(jià)稱(chēng)：

目前，Kevin Ren 和王虹的論文還是預(yù)印本，尚未經(jīng)過(guò)全面的同行評(píng)審。

但我估計(jì)其正確率有 95%。

作者介紹

Kevin Ren，普林斯頓大二研究生在讀。

研究方向?yàn)楦盗⑷~分析及其在幾何測(cè)度理論和度量幾何問(wèn)題中的應(yīng)用。

他本科（2018-2022）來(lái)自 MIT，獲得了數(shù)學(xué)和物理學(xué)位。

王虹，2019 年從 MIT 博士畢業(yè)。

目前是紐約大學(xué)庫(kù)蘭特分校數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)副教授，此前在 UCLA 擔(dān)任了兩年助理教授。

她的研究方向同為傅立葉分析及相關(guān)問(wèn)題。

論文地址：

https://arxiv.org/abs/2308.08819

參考鏈接：

• https://www.quantamagazine.org/mathematicians-cross-the-line-to-get-to-the-point-20230925/

本文來(lái)自微信公眾號(hào)：量子位 （ID：QbitAI），作者：豐色

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總結(jié)

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