【Lesson 1】9月14日

【Lesson 2】9月28日

（1）優(yōu)化設(shè)計一般實施步驟

1. 設(shè)計要求與目的→定義優(yōu)化設(shè)計問題
2. 建立問題的數(shù)學(xué)模型
3. 選用合適的優(yōu)化算法
4. 確定必要數(shù)據(jù)和設(shè)計初始點
5. 編寫程序，利用計算機(jī)求解計算最優(yōu)備選方案
6. 分析結(jié)果數(shù)據(jù)和方案，判斷是否符合工程實際，進(jìn)行參數(shù)分析

（2）優(yōu)化問題建模：選擇和確定各個獨立參數(shù)

• 表示：$X=[x_1,x_2,...,x_n{]}^T$
• 維數(shù)：變量數(shù) $n$
• 類型：連續(xù)/離散變量
• 設(shè)計空間：各獨立變量構(gòu)成的空間
• 超空間：$n>3$ 時的設(shè)計空間

（3）目標(biāo)函數(shù)：設(shè)計中預(yù)期達(dá)到的目標(biāo)

• 表示：$f(X)=f(x_1,x_2,...,x_n)$
• 分類：單目標(biāo)函數(shù)、多目標(biāo)函數(shù)、綜合目標(biāo)函數(shù)

（4）約束條件：設(shè)計變量和響應(yīng)取值的限制條件

• 邊界約束/區(qū)域約束
• 性能約束
• 顯約束/隱約束

（5）數(shù)學(xué)模型：
$$\begin{array}{rl}& \mathrm{f}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}:X=[x_1,x_2,...,x_n{]}^T——設(shè)計變量\\ & \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}:f(X)——目標(biāo)函數(shù)\\ & \begin{array}{c}\begin{array}{rl}\mathrm{s}.\mathrm{t}.：& g_u(X)\ge 0(u=1,2,...,m)\\ & h_v(X)=0(u=1,2,...,p)\end{array}\end{array}\}——約束條件\end{array}$$
① 約束優(yōu)化與無約束優(yōu)化；② 線性優(yōu)化與非線性優(yōu)化；③ 單目標(biāo)優(yōu)化與多目標(biāo)優(yōu)化；④ 可行設(shè)計點與可行域；⑤ 局部最優(yōu)與全局最優(yōu)。

復(fù)習(xí)：

1. 泰勒展開

2. 等等

優(yōu)化設(shè)計方法分類;

• 任務(wù)：① 找到最優(yōu)解；② 提高求優(yōu)過程的效率。
• 對于非線性優(yōu)化問題，基本是使用迭代算法

【Lesson 3】10月12日

迭代算法：按照一定的邏輯結(jié)構(gòu)進(jìn)行反復(fù)的數(shù)值計算，尋求函數(shù)值不斷下降的設(shè)計點，直到最后獲得足夠精度的近似解時就截斷計算。

迭代種植條件

1. 點距準(zhǔn)則
   $$||x^{(k+1)}?x^{(k)}||\le \epsilon$$
2. 目標(biāo)函數(shù)下降量準(zhǔn)則
   $$\begin{array}{rl}若|f(x^{(k+1)})|?1& ,|f(x^{(k+1)})?f(x^{(k)})|\le \epsilon \\ 若|f(x^{(k+1)})|?1& ,\frac{|f(x^{(k+1)})?f(x^k)|}{|f(x^{(k)})|}\le \epsilon \end{array}$$
3. 梯度準(zhǔn)則
   $$||▽f(x^{(k+1)})||\le \epsilon$$

設(shè)計變量的坐標(biāo)變換

• 原因：變量的數(shù)值大小相差極大，無法用統(tǒng)一步長尋優(yōu)，無法使用統(tǒng)一的終止條件，需要采用坐標(biāo)變換對設(shè)計變量進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理。
• 標(biāo)準(zhǔn)化處理：將設(shè)計變量用變量區(qū)間內(nèi)的相對坐標(biāo)來表示，將設(shè)計變量真實值化為變量區(qū)間的相對值，是變化范圍在0~1之間。
  $$\begin{gathered} 對于x_{li}<x_{ti}<x_{ui},設(shè)計參數(shù)x_{ti} \\ {x}_{ri}=\frac{x_{ti}?x_{li}}{x_{ui}?x_{li}}\in [0,1] \end{gathered}$$

優(yōu)化設(shè)計方法分類

一維優(yōu)化方法

一維優(yōu)化方法是多維優(yōu)化方法的基礎(chǔ)
要求出
$$\begin{gathered} X^{(K+1)}=X^{(k)}+{\alpha }^{(k)}{S}^{(k)} \\ \begin{array}{rl}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}f(X^{(K+1)})=& \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}f(X^{(k)}+{\alpha }^{(k)}{S}^{(k)})\\ \approx & f(X^{(k)})+[▽f(X^{(k)}){]}^T\alpha S^{(k)}+\frac{1}{2}{\alpha }^2[S^{(k)}{]}^{T}H(X^{(k)})S^{(k)}\end{array} \\ {f}^{\prime }(x)\approx \frac{f(x+\Delta x)?f(x)}{\Delta x}=0?\alpha =\frac{[▽f(X^{(k)}){]}^T{S}^{(k)}}{[S^{(k)}{]}^{T}H(X^{(k)})S^{(k)}} \end{gathered}$$

步驟：

• 確定搜索區(qū)間
• 確定步長求解最優(yōu)

進(jìn)退法

1. 試探計算
   初選一個初始點 $x_1$ 和初始步長 $h_0$，前進(jìn)點為 $x_2=x_1+h_0$，計算函數(shù)值 $y_1=f(x_1)$ 和 $y_2=f(x_2)$
   （1）當(dāng) $y_2>y_1$ 時，
2. $y_2<y_1$ 前進(jìn)計算
   計算第二個前進(jìn)點
3. 后退運算

目的是：形成一個“高-低-高”的區(qū)間

算例：

【2021.11.2】

變尺度法

DFP變尺度法能夠適用于多參數(shù)函數(shù) $f(x)$ 優(yōu)化，下面以例子來說明。

使用DFP變尺度法對函數(shù) $f(x)=4(x_1?5{)}^2+(x_2?6{)}^2$ 進(jìn)行優(yōu)化，初始點為 $[00{]}^T$ ，要求迭代結(jié)束條件為梯度 $\xi$ 小于0.01。

該函數(shù)的梯度向量為

$$▽f(x)={\left[\begin{array}{cc}8(x_1?5)& 2(x_2?6)\end{array}\right]}^T$$

初始變量值、梯度為

$$\begin{gathered} x^{(0)}={\left[\begin{array}{cc}0& 0\end{array}\right]}^T \\ ▽f(x^{(0)})={\left[\begin{array}{cc}?40& ?12\end{array}\right]}^T \end{gathered}$$

初始海塞矩陣為

$$H^{(0)}=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$$

第一次迭代后的變量值為

$$x^{(1)}=x^{(0)}+\alpha S^{(0)}=x^{(0)}?\alpha H^{(0)}▽f(x^{(0)})={\left[\begin{array}{cc}40\alpha & 12\alpha \end{array}\right]}^T$$

則第一次迭代后的函數(shù)值為

$$f(x^{(1)})=4(40\alpha ?4{)}^2+(12\alpha ?6{)}^2=6544{\alpha }^2?1744\alpha +136$$

該值取最小時 $\alpha =109/818$，將其帶入 $x^{(1)}$ 和 $▽f(x^{(1)})$。有

$$x^{(1)}={\left[\begin{array}{cc}5.33& 1.60\end{array}\right]}^T,▽f(x^{(1)})={\left[\begin{array}{cc}2.64& ?8.8\end{array}\right]}^T$$

可分別計算變量和梯度的差值

$$\begin{gathered} △x^{(0)}=x^{(1)}?x^{(0)}={\left[\begin{array}{cc}5.33& 1.60\end{array}\right]}^T \\ △g^{(0)}=▽f(x^{(1)})?▽f(x^{(0)})={\left[\begin{array}{cc}42.64& 3.2\end{array}\right]}^T \end{gathered}$$
變尺度法中海塞矩陣的迭代矯正公式為

$$\begin{gathered} E^{(k)}=\frac{△x^{(k)}[△x^{(k)}{]}^T}{[△x^{(k)}{]}^T△g^{(k)}}?\frac{H^{(k)}△g^{(k)}[△g^{(k)}{]}^T{H}^{(k)}}{[△g^{(k)}{]}^T{H}^{(k)}△g^{(k)}} \\ {H}^{(k+1)}=H^{(k)}+E^{(k)} \end{gathered}$$

故可以計算出

$$\begin{array}{rl}{H}^{(1)}& =H^{(0)}+E^{(0)}\\ & \\ & =\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]+\frac{△x^{(0)}[△x^{(0)}{]}^T}{[△x^{(0)}{]}^T△g^{(0)}}?\frac{H^{(0)}△g^{(0)}[△g^{(0)}{]}^T{H}^{(0)}}{[△g^{(0)}{]}^T{H}^{(0)}△g^{(0)}}\\ & \\ & =\left[\begin{array}{cc}0.128& ?0.038\\ ?0.038& 1.104\end{array}\right]\end{array}$$
由此，可以依次邏輯繼續(xù)向下迭代，直至最終使得梯度小于0.01。

總結(jié)

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