背景：（臺大林沛群講義）

1、如何去描述一個剛體的運動？

先從平面開始：假設(shè)我們的剛體是圖中所畫的綠色的橢圓（黑白相見的是質(zhì)心位置），在平面上面定義一個平面坐標(biāo)（因為是二維的所以是xy），那如何去描述這個平面上的運動呢？一個平面運動總共有3個我們稱之為自由度（2個移動1個轉(zhuǎn)動），就等于說我們需要3個參數(shù)來描述它的運動，從圖中可以看出來這三個自由度中有兩個是可以是移動的，這個橢圓可以水平的移動沿著x軸，或者上下的移動沿著y軸，所以說我們需要2個參數(shù)來描述這個剛體的移動狀態(tài)，所以說平面上有兩個自由度；這個橢圓也可以在平面上做一個旋轉(zhuǎn)，可以是順時針轉(zhuǎn)或者是逆時針轉(zhuǎn)，所以說在平面上他需要有1個自由度來描述剛體的運動。所以總結(jié)來說在平面上我們需要3個自由度來描述這個剛體，或者說我們需要3個參數(shù)才夠。

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假設(shè)是一個空間中的剛體：在原有的坐標(biāo)系上加上一個Z軸，所以空間中是3個維度，空間中變成3個維度之后，假設(shè)從移動來看，質(zhì)心就可以左右上下前后動，所以說移動有3個自由度；那轉(zhuǎn)動來看如果我們從這個軸的方向來想，它也可以分別對著X軸，Y軸跟Z軸做轉(zhuǎn)動，所以到了空間之后轉(zhuǎn)動是從平面的一個自由度直接跳到3個自由度，所以說如果在一個空間中的剛體原則上我們需要6個參數(shù)來描述他的運動（3個是移動的，3個是轉(zhuǎn)動的）。有了6個參數(shù)之后，我們有沒有一個方法可以把移動跟轉(zhuǎn)動混在一起來表達(dá)（這樣我們在列式子的時候不用說針對移動的部分寫一個式子，針對轉(zhuǎn)動的部分寫一個式子，而有一個統(tǒng)一的表達(dá)法涵蓋移動跟轉(zhuǎn)動兩個部分）。做法就是我們直接在剛體本身上建立一個坐標(biāo)系（在綠色的橢球上畫上一個坐標(biāo)系統(tǒng)），這個坐標(biāo)系統(tǒng)是建立在剛體上面的，他會動，一般叫他body frame，通用方式我們會把這個body frame建立在剛體上的定點上面，簡單的剛體我們會像圖中一樣定在他的質(zhì)心上面，怎樣利用這個坐標(biāo)的姿態(tài)代表剛體的運動？現(xiàn)在坐標(biāo)會跟著剛體在動，剛體動到哪里，坐標(biāo)就會動到哪里，所以就可以說借由判斷剛體的原點位置就可以知道剛體的移動狀態(tài)（因為兩個是一直重合的）。

至于轉(zhuǎn)動的部分，剛體上邊牽著這3個坐標(biāo)軸，所以只要這3個坐標(biāo)軸在空間中轉(zhuǎn)來轉(zhuǎn)去，那我們通過這3個坐標(biāo)軸相對于世界坐標(biāo)系的姿態(tài)，我們就可以知道剛體坐標(biāo)在世界坐標(biāo)下的姿態(tài)是什么；所以我們借由一個frame的設(shè)定，同時利用frame原點，以及frame上邊3軸的一個姿態(tài)，就可以來描述一個剛體在空間中移動跟轉(zhuǎn)動兩個部分的狀態(tài)；

下面是要理解的重點：

問題1：Rotation Matrix與轉(zhuǎn)角？

針對Rotation matrix（旋轉(zhuǎn)矩陣）的三種用法總結(jié)：

1、用于描述一個frame（相對于另一個frame）的姿態(tài)

2、將point由一個frame的表達(dá)換到另一個和此frame僅有相對轉(zhuǎn)動的frame來表達(dá)

3、將point（vector）在同一個frame中進(jìn)行轉(zhuǎn)動

問題2：二、兩個拆解方式：

1、Fixed angle（固定角度）：對方向【固定不動】的轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)；（在空間中固定某一個坐標(biāo)系，作為基準(zhǔn)（非自身坐標(biāo)系），圍繞這個基準(zhǔn)轉(zhuǎn)動）（有兩個坐標(biāo)系比如世界和自身，是以世界魏為基準(zhǔn)在轉(zhuǎn)。）

2、Euler angle（歐拉角）：對【轉(zhuǎn)動的frame當(dāng)下所在】的轉(zhuǎn)軸方向旋轉(zhuǎn)（在物體自身有一個基準(zhǔn)，圍繞自身的XYZ轉(zhuǎn)動（轉(zhuǎn)軸隨著我們的狀態(tài)而變動的））（以自身為基準(zhǔn)，跟世界無關(guān)）

理解兩種拆解方式的本質(zhì)不同：固定角度先轉(zhuǎn)的對應(yīng)矩陣放后邊乘與歐拉角先轉(zhuǎn)的對應(yīng)矩陣放前邊乘的區(qū)別。歐拉角可以結(jié)合Mapping來想。

最后要明白：歐拉角的正轉(zhuǎn)跟固定角的反轉(zhuǎn)會得到得到一摸一樣的解。

下次繼續(xù)

參考鏈接：https://zhuanlan.zhihu.com/p/118671570

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的PCL：点云配准1、基础知识：平面3自由度、旋转矩阵精讲的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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