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最長上升子序列(LIS)長度的O(nlogn)算法

標簽：?算法search優化存儲 2012-04-18 19:38?14031人閱讀?評論(5)?收藏?舉報 ?分類： 資料學習（15）??解題報告（275）??動態規劃（90）?

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hdu?1950?Bridging?signals

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1950

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最長上升子序列（LIS）的典型變形，熟悉的n^2的動歸會超時。LIS問題可以優化為nlogn的算法。
定義d[k]:長度為k的上升子序列的最末元素，若有多個長度為k的上升子序列，則記錄最小的那個最末元素。
注意d中元素是單調遞增的，下面要用到這個性質。
首先len = 1,d[1] = a[1],然后對a[i]:若a[i]>d[len]，那么len++，d[len] = a[i];
否則，我們要從d[1]到d[len-1]中找到一個j，滿足d[j-1]<a[i]<d[j],則根據D的定義，我們需要更新長度為j的上升子序列的最末元素（使之為最小的）即 d[j] = a[i];
最終答案就是len
利用d的單調性，在查找j的時候可以二分查找，從而時間復雜度為nlogn。
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最長上升子序列nlogn算法

在川大oj上遇到一道題無法用n^2過于是，各種糾結，最后習得nlogn的算法

最長遞增子序列，Longest Increasing Subsequence 下面我們簡記為 LIS。
排序+LCS算法 以及 DP算法就忽略了，這兩個太容易理解了。

假設存在一個序列d[1..9] = 2 1 5 3 6 4 8 9 7，可以看出來它的LIS長度為5。n
下面一步一步試著找出它。
我們定義一個序列B，然后令 i = 1 to 9 逐個考察這個序列。
此外，我們用一個變量Len來記錄現在最長算到多少了

首先，把d[1]有序地放到B里，令B[1] = 2，就是說當只有1一個數字2的時候，長度為1的LIS的最小末尾是2。這時Len=1

然后，把d[2]有序地放到B里，令B[1] = 1，就是說長度為1的LIS的最小末尾是1，d[1]=2已經沒用了，很容易理解吧。這時Len=1

接著，d[3] = 5，d[3]>B[1]，所以令B[1+1]=B[2]=d[3]=5，就是說長度為2的LIS的最小末尾是5，很容易理解吧。這時候B[1..2] = 1, 5，Len＝2

再來，d[4] = 3，它正好加在1,5之間，放在1的位置顯然不合適，因為1小于3，長度為1的LIS最小末尾應該是1，這樣很容易推知，長度為2的LIS最小末尾是3，于是可以把5淘汰掉，這時候B[1..2] = 1, 3，Len = 2

繼續，d[5] = 6，它在3后面，因為B[2] = 3, 而6在3后面，于是很容易可以推知B[3] = 6, 這時B[1..3] = 1, 3, 6，還是很容易理解吧？ Len = 3 了噢。

第6個, d[6] = 4，你看它在3和6之間，于是我們就可以把6替換掉，得到B[3] = 4。B[1..3] = 1, 3, 4， Len繼續等于3

第7個, d[7] = 8，它很大，比4大，嗯。于是B[4] = 8。Len變成4了

第8個, d[8] = 9，得到B[5] = 9，嗯。Len繼續增大，到5了。

最后一個, d[9] = 7，它在B[3] = 4和B[4] = 8之間，所以我們知道，最新的B[4] =7，B[1..5] = 1, 3, 4, 7, 9，Len = 5。

于是我們知道了LIS的長度為5。

!!!!! 注意。這個1,3,4,7,9不是LIS，它只是存儲的對應長度LIS的最小末尾。有了這個末尾，我們就可以一個一個地插入數據。雖然最后一個d[9] = 7更新進去對于這組數據沒有什么意義，但是如果后面再出現兩個數字 8 和 9，那么就可以把8更新到d[5], 9更新到d[6]，得出LIS的長度為6。

然后應該發現一件事情了：在B中插入數據是有序的，而且是進行替換而不需要挪動——也就是說，我們可以使用二分查找，將每一個數字的插入時間優化到O(logN)~~~~~于是算法的時間復雜度就降低到了O(NlogN)～！

[cpp]?view plaincopy

1. /*?
2. ????HDU?1950?Bridging?signals?
3. ????????????-----最長上升子序列nlogn算法?
4. */??
5. ??
6. #include<cstdio>??
7. #include<cstring>??
8. #define?MAXN?40005??
9. ??
10. int?arr[MAXN],ans[MAXN],len;??
11. ??
12. /*??
13. ????二分查找。?注意，這個二分查找是求下界的;??(什么是下界？詳情見《算法入門經典》?P145)?
14. ????即返回?>=?所查找對象的第一個位置（想想為什么）?
15. ?
16. ????也可以用STL的lowe_bound二分查找求的下界?
17. */??
18. ??
19. int?binary_search(int?i){??
20. ????int?left,right,mid;??
21. ????left=0,right=len;??
22. ????while(left<right){??
23. ????????mid?=?left+(right-left)/2;??
24. ????????if(ans[mid]>=arr[i])?right=mid;??
25. ????????else?left=mid+1;??
26. ????}??
27. ????return?left;??
28. }??
29. ??
30. int?main()??
31. {??
32. ????freopen("input.txt","r",stdin);??
33. ????int?T,p,i,j,k;??
34. ????scanf("%d",&T);??
35. ????while(T--){??
36. ????????scanf("%d",&p);??
37. ????????for(i=1;?i<=p;?++i)??
38. ????????????scanf("%d",&arr[i]);??
39. ??????????
40. ????????ans[1]?=?arr[1];??
41. ????????len=1;??
42. ????????for(i=2;?i<=p;?++i){??
43. ????????????if(arr[i]>ans[len])??
44. ????????????????ans[++len]=arr[i];??
45. ????????????else{??
46. ????????????????int?pos=binary_search(i);???//?如果用STL：?pos=lower_bound(ans,ans+len,arr[i])-ans;???
47. ????????????????ans[pos]?=?arr[i];??
48. ????????}??
49. ????????printf("%d\n",len);??
50. ????}??
51. ????return?0;??
52. }??

總結

以上是生活随笔為你收集整理的最长连续子序列nlogn算法的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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