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平行四邊形優化(HDOJ3506)

2014-11-20 10:20?1034人閱讀?評論(0)?收藏?舉報 ?分類： 學習（3）?

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四邊形不等式是一種比較常見的優化動態規劃的方法：

證明:http://baike.baidu.com/view/1985058.htm?fr=aladdin

解決這類問題的大概步驟是：

狀態轉移方程 dp[i][j]=min{dp[i][k-1]+dp[k][j]}+w[i][j] ?(i<=k<=j)?

要用平行四邊形優化則要證明w[i][j],dp[i][j]是否滿足四邊形不等式

w[a,c]+w[b,d]<=w[b,c]+w[a,d](a<b<c<d) 就稱其滿足凸四邊形不等式

或打表觀察w[i][j+1]-w[i][j]關于i的表達式，如果關于i遞減，則w滿足凸四邊形不等式

如果一個函數w[i][j]，滿足?w[i'][j]<=w[i][j'] ?i<=i'<=j<=j'?則稱w關于區間包含關系單調

如果w同時滿足四邊形不等式和區間單調關系，則dp也滿足四邊形不等式

通常的動態規劃的復雜度是O(n^3)，四邊形不等式程序中跑一遍i只會跑一遍j，所以可以優化到O(n^2)

詳細證明:

http://baike.baidu.com/view/1985058.htm?fr=aladdin

http://blog.csdn.net/lmyclever/article/details/6677683

經典的石子合并問題:http://blog.csdn.net/acdreamers/article/details/18039073

HDOJ2829

題目大意：給定一個長度為n的序列，至多將序列分成m段，每段序列都有權值，權值為序列內兩個數兩兩相乘之和。m<=n<=1000. 令權值最小。

狀態轉移方程:

dp[c][i]=min(dp[c][i],dp[c-1][j]+w[j+1][i])

[cpp]?view plaincopy

1. #include?<iostream>??
2. #include?<cstdio>??
3. #include?<cstring>??
4. using?namespace?std;??
5. const?int?INF=1<<30;??
6. const?int?MAXN=1000+10;??
7. typedef?long?long?LL;??
8. LL?dp[MAXN][MAXN];//dp[c][j]表示前j個點切了c次后的最小權值??
9. int?val[MAXN];??
10. int?w[MAXN][MAXN];//w[i][j]表示i到j無切割的權值??
11. int?s[MAXN][MAXN];//s[c][j]表示前j個點切的第c次的位置??
12. int?sum[MAXN];??
13. int?main()??
14. {??
15. ????int?n,m;??
16. ????while(~scanf("%d%d",&n,&m))??
17. ????{??
18. ????????if(n==0&&m==0)break;??
19. ????????memset(s,0,sizeof(s));??
20. ????????memset(w,0,sizeof(w));??
21. ????????memset(dp,0,sizeof(dp));??
22. ????????memset(sum,0,sizeof(sum));??
23. ????????for(int?i=1;i<=n;++i)??
24. ????????{??
25. ????????????scanf("%d",&val[i]);??
26. ????????????sum[i]+=sum[i-1]+val[i];??
27. ????????}??
28. ????????for(int?i=1;i<=n;++i)??
29. ????????{??
30. ????????????w[i][i]=0;??
31. ????????????for(int?j=i+1;j<=n;++j)??
32. ????????????{??
33. ????????????????w[i][j]=w[i][j-1]+val[j]*(sum[j-1]-sum[i-1]);??
34. ????????????}??
35. ????????}??
36. ????????for(int?i=1;i<=n;++i)??
37. ????????{??
38. ????????????for(int?j=1;j<=m;++j)??
39. ????????????{??
40. ????????????????dp[j][i]=INF;??
41. ????????????}??
42. ????????}??
43. ????????for(int?i=1;i<=n;++i)??
44. ????????{??
45. ????????????dp[0][i]=w[1][i];??
46. ????????????s[0][i]=0;??
47. ????????}??
48. ????????for(int?c=1;c<=m;++c)??
49. ????????{??
50. ????????????s[c][n+1]=n;//設置邊界??
51. ????????????for(int?i=n;i>c;--i)??
52. ????????????{??
53. ????????????????int?tmp=INF,k;??
54. ????????????????for(int?j=s[c-1][i];j<=s[c][i+1];++j)??
55. ????????????????{??
56. ????????????????????if(dp[c-1][j]+w[j+1][i]<tmp)??
57. ????????????????????{??
58. ????????????????????????tmp=dp[c-1][j]+w[j+1][i];//狀態轉移方程，j之前切了c-1次，第c次切j到j+1間的??
59. ????????????????????????k=j;??
60. ????????????????????}??
61. ????????????????}??
62. ????????????????dp[c][i]=tmp;??
63. ????????????????s[c][i]=k;??
64. ????????????}??
65. ????????}??
66. ????????printf("%d\n",dp[m][n]);??
67. ????}??
68. ????return?0;??
69. }??

總結

以上是生活随笔為你收集整理的平行四边形优化的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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