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一般篩法求素數+快速線性篩法求素數

標簽：?正則表達式算法優化擴展c 2010-08-22 01:28?28738人閱讀?評論(8)?收藏?舉報 ?分類： 算法學習資料（5）?

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TAG 素數? 數論

素數總是一個比較常涉及到的內容，掌握求素數的方法是一項基本功。

基本原則就是題目如果只需要判斷少量數字是否為素數，直接枚舉因子2 。。N^(0.5) ，看看能否整除N。

如果需要判斷的次數較多，則先用下面介紹的辦法預處理。

?一般的線性篩法

首先先介紹一般的線性篩法求素數

[cpp]?view plaincopy

1. void?make_prime()??{????????
2. ????memset(prime,?1,?sizeof(prime));??
3. ????prime[0]=false;???????
4. ????prime[1]=false;???????
5. ????int?N=31700;????????
6. ????for?(int?i=2;??i<N;??i++)???????????
7. ??????if?(prime[i])?{????????????
8. ????????primes[++cnt?]=i;???????
9. ????????for?(int?k=i*i;?k<N;?k+=i)??????????
10. ????????????prime[k]=false;?????????
11. ??????}????????
12. ????return;??
13. }?????

這種方法比較好理解，初始時，假設全部都是素數，當找到一個素數時，顯然這個素數乘上另外一個數之后都是合數(注意上面的 i*i ,? 比 i*2 要快點 )，把這些合數都篩掉，即算法名字的由來。

但仔細分析能發現，這種方法會造成重復篩除合數，影響效率。比如10，在i=2的時候，k=2*15篩了一次；在i=5，k=5*6 的時候又篩了一次。所以，也就有了快速線性篩法。

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快速線性篩法

快速線性篩法沒有冗余，不會重復篩除一個數，所以“幾乎”是線性的，雖然從代碼上分析，時間復雜度并不是O(n)。先上代碼

[cpp]?view plaincopy

1. #include<iostream>??
2. using?namespace?std;??????
3. const?long?N?=?200000;?????
4. long?prime[N]?=?{0},num_prime?=?0;??????
5. int?isNotPrime[N]?=?{1,?1};?????
6. int?main()??????
7. {???????
8. ????????for(long?i?=?2?;?i?<?N?;?i?++)?????????
9. ????????{??????????????
10. ????????if(!?isNotPrime[i])?????????????????
11. ????????????prime[num_prime?++]=i;????
12. ????????//關鍵處1??????????
13. ????????for(long?j?=?0?;?j?<?num_prime?&&?i?*?prime[j]?<??N?;?j?++)??
14. ????????????{?????????????????
15. ????????????????isNotPrime[i?*?prime[j]]?=?1;????
16. ????????????if(?!(i?%?prime[j]?)?)??//關鍵處2????????????????????
17. ????????????????break;?????????????
18. ????????}??????????
19. ????}??????????
20. ????return?0;?????
21. }????

首先，先明確一個條件，任何合數都能表示成一系列素數的積。

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不管 i 是否是素數，都會執行到“關鍵處1”，

①如果 i 都是是素數的話，那簡單，一個大的素數 i 乘以不大于 i 的素數，這樣篩除的數跟之前的是不會重復的。篩出的數都是 N=p1*p2的形式, p1，p2之間不相等

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②如果 i 是合數，此時 i 可以表示成遞增素數相乘 i=p1*p2*...*pn, pi都是素數（2<=i<=n），? pi<=pj? ( i<=j )

p1是最小的系數。

根據“關鍵處2”的定義，當p1==prime[j] 的時候，篩除就終止了，也就是說，只能篩出不大于p1的質數*i。

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我們可以直觀地舉個例子。i=2*3*5

此時能篩除 2*i ,不能篩除 3*i

如果能篩除3*i 的話，當 i' 等于 i'=3*3*5 時，篩除2*i' 就和前面重復了。

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需要證明的東西：

1. 一個數會不會被重復篩除。
2. 合數肯定會被干掉。

根據上面紅字的條件，現在分析一個數會不會被重復篩除。

設這個數為 x=p1*p2*...*pn, pi都是素數（1<=i<=n)? ,? pi<=pj ( i<=j )?

當 i = 2 時，就是上面①的情況，

當 i >2 時， 就是上面②的情況， 對于 i ，第一個能滿足篩除 x 的數? y 必然為 y=p2*p3...*pn（p2可以與p1相等或不等），而且滿足條件的 y 有且只有一個。所以不會重復刪除。

證明合數肯定會被干掉？ 用歸納法吧。

?類比一個模型，比如說我們要找出 n 中2個不同的數的所有組合 { i , j } ，1<=i<=n, 1<=j<=n,

我們會這么寫

for (i=1; i<n; ++i )

? for (j=i+1; j<=n; ++j)

?? {

??? /

?? }

我們取 j=i+1 便能保證組合不會重復。快速篩法大概也是這個道理，不過這里比較難理解，沒那么直觀。

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1樓提供的方法，我整理下

//偶數顯然不行，所以先去掉偶數。可以看作上面第一種的優化吧。

//不過這種方法不太直觀，不太好理解。

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1. 我推薦這個算法！?易于理解。?只算奇數部分，時空效率都還不錯！??
2. half=SIZE/2;???
3. int?sn?=?(int)?sqrt(SIZE);???
4. for?(i?=?0;?i?<?half;?i++)???
5. ???p[i]?=?true;//?初始化全部奇數為素數。p[0]對應3，即p[i]對應2*i+3???
6. for?(i?=?0;?i?<?sn;?i++)?{??????
7. if(p[i])//如果?i+i+3?是素數??
8. {???????
9. ????for(k=i+i+3,?j=k*i+k+i;?j?<?half;?j+=k)???
10. ????//?篩法起點是?p[i]所對應素數的平方?k^2??????????????????????????????????????????
11. ????//?k^2在?p?中的位置是?k*i+k+i??
12. ????//????下標?i?????????k*i+k+i??
13. ????//對應數值?k=i+i+3???k^2???????????
14. ???????p[j]=false;???
15. }???
16. }???
17. //素數都存放在?p?數組中，p[i]=true代表?i+i+2?是素數。??
18. //舉例，3是素數，按3*3,3*5,3*7...的次序篩選，因為只保存奇數，所以不用刪3*4，3*6....??

總結

以上是生活随笔為你收集整理的一般筛法求素数+快速线性筛法求素数的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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