hdu 2665（主席树查询区间k大值）
先貼我自己寫的代碼做模板雖然跟原博主沒什么兩樣。（一開始空間開的4*maxn,交到hdu上一直TLE很奇怪）
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=1e5+10;
int rt[20*maxn];
int sum[20*maxn],ls[20*maxn],rs[20*maxn];
int a[maxn],b[maxn];
int cnt;
void build(int& node,int l,int r)
{node=++cnt;sum[node]=0;if(l==r) return ;int mid=(l+r)>>1;build(ls[node],l,mid);build(rs[node],mid+1,r);
}
void update(int& now,int pre,int l,int r,int p)
{now=++cnt;ls[now]=ls[pre];rs[now]=rs[pre];sum[now]=sum[pre]+1;if(l==r) return ;int mid=(l+r)>>1;if(p>mid) update(rs[now],rs[pre],mid+1,r,p);else update(ls[now],ls[pre],l,mid,p);}
int query(int pre,int now,int l,int r,int k)
{if(l==r)return b[l];int mid=(l+r)>>1;int c=sum[ls[now]]-sum[ls[pre]];if(k<=c) return query(ls[pre],ls[now],l,mid,k);else return query(rs[pre],rs[now],mid+1,r,k-c);
}
int main()
{int t,n,m,ql,qr,k;scanf("%d",&t);while(t--){cnt=0;scanf("%d %d",&n,&m);for(int i=1;i<=n;i++){scanf("%d",a+i);b[i]=a[i];}sort(b+1,b+1+n);int len=unique(b+1,b+1+n)-(b+1);build(rt[0],1,len);for(int i=1;i<=n;i++)a[i]=lower_bound(b+1,b+1+len,a[i])-b;for(int i=1;i<=n;i++)update(rt[i],rt[i-1],1,len,a[i]);for(int i=1;i<=m;i++){scanf("%d %d %d",&ql,&qr,&k);printf("%d\n",query(rt[ql-1],rt[qr],1,len,k));}}
} 樹狀結(jié)構(gòu)之主席樹
主席樹搞了一個(gè)多星期TAT，，，，，，也只是大致領(lǐng)悟而已！！！
主席樹又稱函數(shù)式線段樹，顧名思義，也就是通過函數(shù)來實(shí)現(xiàn)的線段樹，至于為什么叫主席樹，那是因?yàn)槭莊otile主席創(chuàng)建出來的這個(gè)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)（其實(shí)貌似是當(dāng)初主席不會劃分樹而自己想出來的另一個(gè)處理方式。。。。是不是很吊呢？ ORZ...)不扯了，切入正題。
主席樹就是利用函數(shù)式編程的思想來使線段樹支持詢問歷史版本、同時(shí)充分利用它們之間的共同數(shù)據(jù)來減少時(shí)間和空間消耗的增強(qiáng)版的線段樹。
??? ?很多問題如果用線段樹處理的話需要采用離線思想，若用主席樹則可直接在線處理。故很多時(shí)候離線線段樹求解可以轉(zhuǎn)化為在線主席樹求解。注意，主席樹本質(zhì)就是線段樹，變化就在其實(shí)現(xiàn)可持久化，后一刻可以參考前一刻的狀態(tài)，二者共同部分很多。一顆線段樹的節(jié)點(diǎn)維護(hù)的是當(dāng)前節(jié)點(diǎn)對應(yīng)區(qū)間的信息，倘若每次區(qū)間都不一樣，就會給處理帶來一些困難。有時(shí)可以直接細(xì)分區(qū)間然后合并，此種情況線段樹可以直接搞定；但有時(shí)無法通過直接劃分區(qū)間來求解，如頻繁詢問區(qū)間第k小元素，當(dāng)然，此問題有比較特殊的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)-劃分樹。其實(shí)還有一個(gè)叫做歸并樹，是根據(jù)歸并排序?qū)崿F(xiàn)的，每個(gè)節(jié)點(diǎn)保存的是該區(qū)間歸并排序后的序列，因此，時(shí)間、空間復(fù)雜度都及其高， 所以一般不推薦去用。當(dāng)然，主席樹也是可以解決的。
附上歸并樹代碼：
1 #include <cstdio> 2 #include <cstring> 3 #include <vector> 4 #include <algorithm> 5 using namespace std; 6 const int N = 100000 + 5; 7 8 vector<int>node[N << 2]; 9 10 int T, n, q, ql, qr, ans, k, sz; 11 12 int a[N], b[N]; 13 14 inline int read(){//快速讀入是邪教 15 char c; 16 int ret = 0; 17 int sgn = 1; 18 do{c = getchar();}while((c < '0' || c > '9') && c != '-'); 19 if(c == '-') sgn = -1; else ret = c - '0'; 20 while((c = getchar()) >= '0' && c <= '9') ret = ret * 10 + (c - '0'); 21 return sgn * ret; 22 } 23 24 void Build(int o, int l, int r){ 25 node[o].clear(); 26 if(l == r){ 27 node[o].push_back(a[l]); 28 return ; 29 } 30 int m = (l + r) >> 1; 31 Build(o << 1, l, m); 32 Build(o << 1|1, m + 1, r); 33 node[o].resize(r - l + 1); 34 merge(node[o<<1].begin(), node[o<<1].end(), node[o<<1|1].begin(), node[o<<1|1].end(), node[o].begin()); 35 } 36 37 int query(int o, int l, int r, int x){ 38 //if(ql > r || qr < l) return 0; 39 if(ql <= l && qr >= r) return upper_bound(node[o].begin(), node[o].end(), x) - node[o].begin(); 40 int m = (l + r) >> 1; 41 int ret = 0; 42 if(ql <= m)ret += query(o << 1, l, m, x); 43 if(qr > m)ret += query(o << 1|1, m + 1, r, x); 44 return ret; 45 } 46 47 void work(){ 48 //ql = read(); 49 //qr = read(); 50 //k = read(); 51 scanf("%d%d%d", &ql, &qr, &k); 52 int lt = 1, rt = sz; 53 while(lt <= rt){ 54 int md = (lt + rt) >> 1; 55 if(query(1, 1, n, b[md]) >= k)rt = md - 1; 56 else lt = md + 1; 57 } 58 printf("%d\n", b[rt+1]); 59 } 60 61 int main(){ 62 scanf("%d", &T); 63 while(T--){ 64 scanf("%d%d", &n, &q); 65 //n = read(); 66 //q = read(); 67 //for(int i = 1; i <= n; i ++) a[i] = b[i] = read(); 68 for(int i = 1; i <= n; i ++)scanf("%d", a + i), b[i] = a[i]; 69 Build(1, 1, n); 70 sort(b + 1, b + n + 1); 71 sz = unique(b + 1, b + n + 1) - (b + 1); 72 while(q --)work(); 73 } 74 return 0; 75 }
?
赤果果的嫌棄，時(shí)間居然那么費(fèi)，，，，，，，（不過挺好理解的）
??? ?主席樹的每個(gè)節(jié)點(diǎn)對應(yīng)一顆線段樹，此處有點(diǎn)抽象。在我們的印象中，每個(gè)線段樹的節(jié)點(diǎn)維護(hù)的樹左右子樹下標(biāo)以及當(dāng)前節(jié)點(diǎn)對應(yīng)區(qū)間的信息（信息視具體問題定）。對于一個(gè)待處理的序列a[1]、a[2]…a[n]，有n個(gè)前綴。每個(gè)前綴可以看做一棵線段樹，共有n棵線段樹；若不采用可持久化結(jié)構(gòu)，帶來的嚴(yán)重后果就是會MLE，即對內(nèi)存來說很難承受。根據(jù)可持久化數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的定義，由于相鄰線段樹即前綴的公共部分很多，可以充分利用，達(dá)到優(yōu)化目的，同時(shí)每棵線段樹還是保留所有的葉節(jié)點(diǎn)只是較之前共用了很多共用節(jié)點(diǎn)。主席樹很重要的操作就是如何尋找公用的節(jié)點(diǎn)信息，這些可能可能出現(xiàn)在根節(jié)點(diǎn)也可能出現(xiàn)在葉節(jié)點(diǎn)。
下面是某大牛的理解：所謂主席樹呢，就是對原來的數(shù)列[1..n]的每一個(gè)前綴[1..i]（1≤i≤n）建立一棵線段樹，線段樹的每一個(gè)節(jié)點(diǎn)存某個(gè)前綴[1..i]中屬于區(qū)間[L..R]的數(shù)一共有多少個(gè)（比如根節(jié)點(diǎn)是[1..n]，一共i個(gè)數(shù)，sum[root] = i；根節(jié)點(diǎn)的左兒子是[1..(L+R)/2]，若不大于(L+R)/2的數(shù)有x個(gè)，那么sum[root.left] = x）。若要查找[i..j]中第k大數(shù)時(shí)，設(shè)某結(jié)點(diǎn)x，那么x.sum[j] - x.sum[i - 1]就是[i..j]中在結(jié)點(diǎn)x內(nèi)的數(shù)字總數(shù)。而對每一個(gè)前綴都建一棵樹，會MLE，觀察到每個(gè)[1..i]和[1..i-1]只有一條路是不一樣的，那么其他的結(jié)點(diǎn)只要用回前一棵樹的結(jié)點(diǎn)即可，時(shí)空復(fù)雜度為O(nlogn)。
我自己對主席樹的理解，是一個(gè)線段樹在修改一個(gè)值的時(shí)候，它只要修改logn個(gè)節(jié)點(diǎn)就可以了，那么我們只要每次增加logn個(gè)節(jié)點(diǎn)就可以記錄它原來的狀態(tài)了, 即你在更新一個(gè)值的時(shí)候僅僅只是更新了一條鏈，其他的節(jié)點(diǎn)都相同，即達(dá)到共用。由于主席樹每棵節(jié)點(diǎn)保存的是一顆線段樹，維護(hù)的區(qū)間相同，結(jié)構(gòu)相同，保存的信息不同，因此具有了加減性。（這是主席樹關(guān)鍵所在，當(dāng)除筆者理解了很久很久，才相通的），所以在求區(qū)間的時(shí)候，若要處區(qū)間[l, r]， 只需要處理rt[r] - rt[l-1]就可以了，（rt[l-1]處理的是[1,l-1]的數(shù)，rt[r]處理的是[1,r]的數(shù)，相減即為[l, r]這個(gè)區(qū)間里面的數(shù)。
比如說（以區(qū)間第k大為例hdu2665題目戳這里http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2665）:
設(shè)n = 4，q= 1;
4個(gè)數(shù)分別為4， 1， 3 ，2;
ql = 1, qr = 3, k = 2;
1.建樹
首先需要建立一棵空的線段樹，也是最原始的主席樹，此時(shí)主席樹只含一個(gè)空節(jié)點(diǎn)，此時(shí)設(shè)根節(jié)點(diǎn)為rt[0],表示剛開始的初值狀態(tài)，然后依次對原序列按某種順序更新，即將原序列加入到對應(yīng)位置。此過程與線段樹一樣，時(shí)間復(fù)雜度為O（nlogn)，空間復(fù)雜度O（nlog(n))（筆者目前沒有完全搞清究竟是多少， 不過保守情況下，線段樹不會超過4*n）
2.更新
?我們知道，更新一個(gè)葉節(jié)點(diǎn)只會影響根節(jié)點(diǎn)到該葉節(jié)點(diǎn)的一條路徑，故只需修改該路徑上的信息即可。每個(gè)主席樹的節(jié)點(diǎn)即每棵線段樹的結(jié)構(gòu)完全相同，只是對應(yīng)信息（可以理解為線段樹的結(jié)構(gòu)完全一樣，只是對應(yīng)葉子節(jié)點(diǎn)取值不同，從而有些節(jié)點(diǎn)的信息不同，本質(zhì)是節(jié)點(diǎn)不同），此時(shí)可以利用歷史狀態(tài)，即利用相鄰的上一棵線段樹的信息。相鄰兩顆線段樹只有當(dāng)前待處理的元素不同，其余位置完全一樣。因此，如果待處理的元素進(jìn)入線段樹的左子樹的話，右子樹是完全一樣的，可以共用，即直接讓當(dāng)前線段樹節(jié)點(diǎn)的右子樹指向相鄰的上一棵線段樹的右子樹；若進(jìn)入右子樹，情況可以類比。此過程容易推出時(shí)間復(fù)雜度為O(logn)，空間復(fù)雜度為?O(logn)。如圖：
?
3.查詢
先附上處理好之后的主席樹， 如圖:
是不是看著很暈。。。。。。筆者其實(shí)也暈了，我們把共用的節(jié)點(diǎn)拆開來，看下圖：
啊， 這下清爽多了，一眼看下去就知道每個(gè)節(jié)點(diǎn)維護(hù)的是哪棵線段樹了，TAT，如果早就這樣寫估計(jì)很快就明白了，rt[i]表示處理完前i個(gè)數(shù)之后所形成的線段樹，即具有了前綴和的性質(zhì)，那么rt[r] - rt[l-1]即表示處理的[l, r]區(qū)間嘍。當(dāng)要查詢區(qū)間[1,3]的時(shí)候，我們只要將rt[3] 和 rt[0]節(jié)點(diǎn)相減即可得到。如圖：
這樣我們得到區(qū)間[l, r]的數(shù)要查詢第k大便很容易了，設(shè)左節(jié)點(diǎn)中存的個(gè)數(shù)為cnt，當(dāng)k<=cnt時(shí)，我們直接查詢左兒子中第k小的數(shù)即可，如果k>cnt，我們只要去查右兒子中第k-cnt小的數(shù)即可，這邊是一道很簡單的線段樹了。就如查找[1, 3]的第2小數(shù)（圖上為了方便，重新給節(jié)點(diǎn)標(biāo)號），從根節(jié)點(diǎn)1向下搜，發(fā)現(xiàn)左兒子2的個(gè)數(shù)為1,1<2，所有去右兒子3中搜第2-1級第1小的數(shù)，然后再往下搜，發(fā)現(xiàn)左兒子6便可以了，此時(shí)已經(jīng)搜到底端，所以直接返回節(jié)點(diǎn)6維護(hù)的值3即可就可以了。
附上代碼：
1 #include <cstdio> 2 #include <cstring> 3 #include <algorithm> 4 using namespace std; 5 const int N = 100000 + 5; 6 7 int a[N], b[N], rt[N * 20], ls[N * 20], rs[N * 20], sum[N * 20]; 8 9 int n, k, tot, sz, ql, qr, x, q, T; 10 11 void Build(int& o, int l, int r){ 12 o = ++ tot; 13 sum[o] = 0; 14 if(l == r) return; 15 int m = (l + r) >> 1; 16 Build(ls[o], l, m); 17 Build(rs[o], m + 1, r); 18 } 19 20 void update(int& o, int l, int r, int last, int p){ 21 o = ++ tot; 22 ls[o] = ls[last]; 23 rs[o] = rs[last]; 24 sum[o] = sum[last] + 1; 25 if(l == r) return; 26 int m = (l + r) >> 1; 27 if(p <= m) update(ls[o], l, m, ls[last], p); 28 else update(rs[o], m + 1, r, rs[last], p); 29 } 30 31 int query(int ss, int tt, int l, int r, int k){ 32 if(l == r) return l; 33 int m = (l + r) >> 1; 34 int cnt = sum[ls[tt]] - sum[ls[ss]]; 35 if(k <= cnt) return query(ls[ss], ls[tt], l, m, k); 36 else return query(rs[ss], rs[tt], m + 1, r, k - cnt); 37 } 38 39 void work(){ 40 scanf("%d%d%d", &ql, &qr, &x); 41 int ans = query(rt[ql - 1], rt[qr], 1, sz, x); 42 printf("%d\n", b[ans]); 43 } 44 45 int main(){ 46 scanf("%d", &T); 47 while(T--){ 48 scanf("%d%d", &n, &q); 49 for(int i = 1; i <= n; i ++) scanf("%d", a + i), b[i] = a[i]; 50 sort(b + 1, b + n + 1); 51 sz = unique(b + 1, b + n + 1) - (b + 1); 52 tot = 0; 53 Build(rt[0],1, sz); 54 //for(int i = 0; i <= 4 * n; i ++)printf("%d,rt = %d,ls = %d, rs = %d, sum = %d\n", i, rt[i], ls[i], rs[i], sum[i]); 55 for(int i = 1; i <= n; i ++)a[i] = lower_bound(b + 1, b + sz + 1, a[i]) - b; 56 for(int i = 1; i <= n; i ++)update(rt[i], 1, sz, rt[i - 1], a[i]); 57 for(int i = 0; i <= 5 * n; i ++)printf("%d,rt = %d,ls = %d, rs = %d, sum = %d\n", i, rt[i], ls[i], rs[i], sum[i]); 58 while(q --)work(); 59 } 60 return 0; 61 }
看著這個(gè)時(shí)間的復(fù)雜度和歸并樹一比，從此對歸并樹無愛了，估計(jì)不會再用了。。。。ORZ~~
4.總結(jié)
由以上可知，主席樹是一種特殊的線段樹集，他幾乎具有所有線段樹的所有優(yōu)勢，并且可以保存歷史狀態(tài)，以便以后加以利用，主席樹查找和更新時(shí)時(shí)間空間復(fù)雜度均為O（logn)， 且空間復(fù)雜度約為O(nlogn + nlogn)前者為空樹的空間復(fù)雜度，后者為更新n次的空間復(fù)雜度，主席樹的缺點(diǎn)就是空間耗損巨大，但還是可以接受的。當(dāng)然主席樹不止這點(diǎn)應(yīng)用，他可以處理許多區(qū)間問題，例如求區(qū)間[l, r]中的值介于[x,y]的值。總之應(yīng)用多多。
既然要做，那就好好做! 自己選的路，自己走完! 分類:?樹狀結(jié)構(gòu)總結(jié)
以上是生活随笔為你收集整理的hdu 2665（主席树查询区间k大值）的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
