前言

學基礎數論的時候看過證明，然而很快就忘了，最近在學習高深一點的數論，于是再復習一下歐拉定理和費馬小定理。

歐拉定理

內容

若正整數 \(a,n\) 互質，則 \(a^{\varphi(n)}\equiv1(mod \ n)\) 。

證明

設 \(x_1,x_2,...,x_{\varphi(n)}\) 為 \(n\) 以內與 \(n\) 互質的數。

它們具有以下性質：

1. 任意兩個數模 \(n\) 的余數一定不同。
2. 對于任意 \(ax_i\) 與 \(n\) 互質。

以上性質顯然，證明略。

我們將 \(x_1,x_2,...,x_{\varphi(n)}\) 定為一個集合， \(ax_1(mod \ n),ax_2(mod \ n),...,ax_{\varphi(n)}(mod \ n)\) 定為另一個集合，顯而易見，這兩個集合是相等的。

于是有

\[x_1*x_2*...*x_{\varphi{n}}=ax_1(mod \ n)*ax_2(mod \ n)*...*ax_{\varphi(n)}(mod \ n)\]

所以

\[ax_1*ax_2*...*ax_{\varphi(n)}\equiv x_1*x_2*...*x_{\varphi(n)}\]

即

\[a^{\varphi(n)}\equiv 1(mod \ n)\]

得證。

費馬小定理

內容

對于質數 \(p\) ，任意整數 \(a\) ，均滿足 \(a^p\equiv a(mod \ p)\) 。

證明

我們可以利用歐拉定理來證。

先將式子作一個簡單變換

\[a^{p-1}*a\equiv a(mod \ p)\]

即

\[a^{p-1}\equiv 1(mod \ p)\]

因為 \(p\) 為質數，所以 \(\varphi(p)=p-1\) ，于是得到了這個式子

\[a^{\varphi(p)}\equiv 1(mod \ p)\]

根據歐拉定理，若 \(a,p\) 互質，則式子成立；若 \(a,p\) 不互質，因為 \(p\) 是質數，所以 \(a\) 是 \(p\) 的倍數，顯然 \(a^p \ mod \ p=a \ mod \ p=0\) ，定理成立。

綜上，費馬小定理成立。

歐拉定理的推論

內容

若正整數 \(a,n\) 互質，那么對于任意正整數 \(b\) ，有 \(a^b\equiv a^{b \ mod \ \varphi(n)}(mod \ n)\) 。

證明

變形得

\[a^{b \ - \ b \ mod \ \varphi(n)}*a^{b \ mod \ \varphi(n)}\equiv a^{b \ mod \ \varphi(n)}(mod \ n)\]

\[a^{b \ - \ b \ mod \ \varphi(n)}\equiv 1(mod \ n)\]

因為 \(b \ - \ b \ mod \ \varphi(n)|\varphi(n)\) ，不妨設 \(b \ - \ b \ mod \ \varphi(n)=p*\varphi(n)\) ，于是有

\[(a^p)^{\varphi(n)}\equiv 1(mod \ n)\]

因為 \(a,n\) 互質，所以 \(a^p,n\) 互質，由歐拉定理可證，推論成立。

參考

orz

轉載于:https://www.cnblogs.com/hlw1/p/11523427.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的欧拉定理 费马小定理的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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