目錄

• 目錄
• 前言
• （一）牛頓迭代法的分析
  • 1.定義
  • 2.條件
  • 3.思想
  • 4.誤差
• （二）代碼實現
  • 1.算法流程圖
  • 2.源代碼
• （三）案例演示
  • 1.求解：\(f(x)=x^3-x-1=0\)
  • 2.求解：\(f(x)=x^2-115=0\)
  • 3.求解：\(f(x)=x^3-x^2-x+1\)
  • 4.求解：\(f(x)=x^4-4x^2+4=0\)

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前言

今天我們講的是具有收斂速度快，能求重根的解方程之法，牛頓迭代法。

（一）牛頓迭代法的分析

1.定義

迭代公式如下：
\[ x_{k+1} = x_k-\frac{f(x_k)}{f\prime(x_k)} (k=0,1,2...) \]
迭代函數是：
\[ \varphi(x) = x_k-\frac{f(x_k)}{f\prime(x_k)} \]
由于$ \varphi(x)= x_k-\frac{f(x_k)}{f\prime(x_k)}$ 與原方程\(f(x)=0\) 等價。

當\(k\rightarrow \infty\) 時，\(x_k\)就是\(f(x)=0\)的近似解。

該方法稱為牛頓迭代方法。

2.條件

f(x)函數是連續可導函數。

f(x)在局部收斂，當\(f(x) \times f\prime\prime(x)>0\)時，局部收斂。

注意：牛頓迭代法的局部收斂性，很依賴于初始值的取法。

也就是說，初始值的選取，決定該區域的收斂性。

3.思想

其總思想還是迭代的方法，只是其迭代公式是由泰勒展開得來的，其利用的是：用切線方程與x軸的交點來近似f(x)與x軸的交點。

4.誤差

任然用的是迭代法的誤差，前后兩次x的差的絕對值與我們給的精度比較。

（二）代碼實現

1.算法流程圖

2.源代碼

feval()函數

def feval(string, a):"""根據值來計算數學表達式。:param string: 含有x未知數的數學表達式:param a: 自變量x的具體數值:return: 數學表達式的計算結果"""count = string.count("x")string = string.replace('x', '%f')t = (a, ) * countresult = eval(string % t)return result

float_num()函數

def flaot_num(x, r):"""處理保留幾位小數點的函數,四舍五入法:param x: 原始數據:param r: 誤差:return: 處理后的數據"""# 處理小數點的位數r = str(r)if "." in r:dian = r.index(".")size = len(r[dian + 1:])result = round(x, size)return resultelif "e" in r:dian = r.index("e")size = int(r[dian+2:])result = round(x, size)return resultelse:result = round(x, 0)return result

牛頓迭代法

"""牛頓迭代法，迭代的思想，不斷逼近。 """ # 求導數需要的庫 import sympy as sp from my_math.func_math import feval, flaot_numdef new_fun(expr, x0, r):"""牛頓迭代法求解方程的根:param expr: 代函數表達式:param x0: 初始值:param r: 誤差:return: 計算的結果值"""x = sp.Symbol('x')k = 0# 一階導與二階導fx_1 = str(sp.diff(expr))fx_2 = str(sp.diff(fx_1))# 迭代公式y = "x-" + "("+expr + ")/(" + fx_1 + ")"# 判斷收斂性if feval(expr, x0)*feval(fx_2, x0) <= 0:print("函數處于該點區域不收斂")result = Noneelse:x1 = feval(y, x0)x2 = feval(y, x1)while abs(x2-x1) > r:x1 = feval(y, x2)x2 = feval(y, x1)k += 1print("次數：", k)print("x1:", x1)print("x2:", x2)result = flaot_num(x2, r)print("=" * 30)print("原始的數據是", x2)print("最后的結果是：", result)return resultif __name__ == '__main__':new_fun("x**4-4*x**2+4", 2, 10**-5)

（三）案例演示

1.求解：\(f(x)=x^3-x-1=0\)

誤差：10^-5

圖像分析（來確定初值）

取在1.5為初始值

運行結果：

2.求解：\(f(x)=x^2-115=0\)

誤差：10^-5

圖像分析（來確定初值）

取11為初始值。

運行結果：

3.求解：\(f(x)=x^3-x^2-x+1\)

誤差：10^-5

圖像分析（來確定初值）

取初始值為：1.6

運行結果：

4.求解：\(f(x)=x^4-4x^2+4=0\)

圖像分析（來確定初值）

取初值是：0

運行結果：

我們換另一個點試試，取初始值為2

運行結果：

作者：Mark

日期：2019/02/19 周二

轉載于:https://www.cnblogs.com/zyg123/p/10400543.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的1.3求根之牛顿迭代法的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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