快速冪模

• 簡述
• 師從
• 普通思路
• • 缺陷一：溢出
  • 缺陷二：運算次數多
• 二分化快速冪模

簡述

計算 $a^n$mod p

師從

本篇是觀Vita君算法視頻后總結，他是bilibili一位小up主：小學生Vita君
正所謂“生乎吾后，其聞道也亦先乎吾，吾從而師之”，誠然如此。
【算法小知識】如何計算快速冪（上）

普通思路

(aaaaaa……aaa) % p

缺陷一：溢出

$a^n$可能會溢出

解決方案：邊乘邊模
基于 (a*b) mod p = (a mod p)(b mod p) 成立
(aaaa……)=(a%p)(a%p)(a%p)(a%p)……

缺陷二：運算次數多

當n較大時，運算次數很大，速度慢

解決方案：二分化思想
$a^n$=$a^{\frac{n}{2}}$$a^{\frac{n}{2}}$
$a^{\frac{n}{2}}$=$a^{\frac{n}{4}}$$a^{\frac{n}{4}}$
……
(當指數為奇數時，需額外乘a）
將時間復雜度O(n) → O(logn)

二分化快速冪模

#include<iostream> using namespace std;typedef unsigned long long ull; ull binpow(ull a, ull n, ull p) {if (n == 0) return 1;a %= p;ull c = binpow(a, n / 2, p);if (n % 2 != 0) return c * c % p *( a % p );return c * c % p; } int main() {ull a, n, p;cin >> a >> n >> p;cout<< binpow(a, n, p) % p<<endl; }

非遞歸：

ull binpow(ull a, ull n, ull p) {ull prod = 1;while(n > 0){if (n & 1) prod = prod * a % p;a *= a % p;n >>= 1;}return prod; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的快速幂模的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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