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编程问答

《dp补卡——完全背包问题》

發布時間：2023/12/1 编程问答 50 豆豆

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了《dp补卡——完全背包问题》小編覺得挺不錯的,現在分享給大家,幫大家做個參考.

N件物品和一個最多能背重量為W的背包。第i件物品的重量為weight[i]，得到的價值是value[i]。每件物品都有無限個(可以放入背包多次)，求解將哪些物品裝入背包里物品價值總和最大。
01背包和完全背包唯一不同在于遍歷順序上。

01背包的核心代碼：

for(int i = 0; i < weight.size(); i++) //遍歷物品 {for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) //遍歷背包容量{dp[j] = max(dp[j],dp[j-weight[i]]+value[i]);} }

內嵌的循環是從大到小遍歷，為了保證每個物品僅僅被添加一次。而完全背包的物品是可以添加多次的，所以要從小到大去遍歷。

for(int i = 0; i < weight.size(); i++) //遍歷物品 {for(int j = weight[i]; j <= bagWeight; j++) //遍歷背包容量{dp[j] = max(dp[j],dp[j-weight[i]]+value[i]);} }

leetcode題目

- - - [518. 零錢兌換 II](https://leetcode-cn.com/problems/coin-change-2/)
    - [377. 組合總和 Ⅳ](https://leetcode-cn.com/problems/combination-sum-iv/)
    - 爬樓梯變形
    - [322. 零錢兌換](https://leetcode-cn.com/problems/coin-change/)
    - [279. 完全平方數](https://leetcode-cn.com/problems/perfect-squares/)
    - [139. 單詞拆分](https://leetcode-cn.com/problems/word-break/)

518. 零錢兌換 II

這一題與https://blog.csdn.net/qq_42604176/article/details/116051902?spm=1001.2014.3001.550101背包中的組合問題有相似之處。只需要把遍歷順序修改就行了。
step1: dp[j]：湊成總金額j的貨幣組合數為dp[j]
step2: dp[j] += dp[j - coins[i]];
step3: 湊成總金額0的貨幣組合數為1。
step4:使用完全背包的遍歷方式，注意由于是求組合數，內外嵌套需要注意。

AC代碼如下：

class Solution { public:int change(int amount, vector<int>& coins) {int sum = 0;vector<int> dp(amount+1,0);dp[0]=1;for(int i = 0; i < coins.size(); i++){for(int j = coins[i]; j <= amount; j++){dp[j] += dp[j-coins[i]];}}return dp[amount];} };

代碼隨想錄公眾號做出的這個總結很好，雖然現在還沒有完全理解是為什么：
如果求組合數就是外層for循環遍歷物品，內層for遍歷背包。
如果求排列數就是外層for遍歷背包，內層for循環遍歷物品。

377. 組合總和 Ⅳ

如果本題要把排列都列出來的話，只能使用回溯算法爆搜。
但是它只要求我們得到排列方法的數目。由于可以重復取，所以使用完全背包。由于是求排列數，外層for循環遍歷背包，內層for循環遍歷元素。
最內層需要對兩個數相加小于INT_MAX進行限制。

class Solution { public:int combinationSum4(vector<int>& nums, int target) {vector<int> dp(target+1,0);dp[0] = 1;for(int i = 0; i <= target; i++) //遍歷背包容量{for(int j = 0; j < nums.size(); j++) //遍歷物品{if(i >= nums[j] && dp[i] < INT_MAX - dp[i-nums[j]])dp[i] += dp[i-nums[j]]; }}return dp[target];} };

爬樓梯變形

假設你正在爬樓梯。需要 n 階你才能到達樓頂。每次可以爬 1 、 2或者m 個臺階。問有多少種不同的方法可以爬到樓頂呢？
分析：1階，2階，m階就是物品，樓頂就是背包。每一階可以重復使用，例如跳了1階，還可以繼續跳1階。所以這是一個完全背包問題。
step1 : dp[i]爬到有i個臺階的樓頂，有dp[i]種方法。

step2: dp[i] += dp[i-j];

step3: dp[0] = 1,dp[…]=0;

step4:遍歷順序，由于是排列問題，1、2與2、1是不一樣的，所以將背包容量放在外層循環，將物品放到內層循環。又因為是完全背包問題，所以從前向后遍歷。

int climbStairs(int n,int m) {vector<int> dp(n+1,0);dp[0]=1;for(int i = 0; i <= n; i++){for(int j = 0; j <= m; j++)if(i -j >= 0) dp[i] += dp[i-j];}return dp[n]; }

322. 零錢兌換

step1:dp[j]湊足金額為j所需要的錢幣的最少個數為dp[j]
step2:dp[j] = min(dp[j-coins[i]]+1,dp[j]);
step3:湊足金額為0的所需金幣個數為0，即dp[0]=0;其他初值為INT_MAX。
湊足金額為j-coins[i]的最少個數為dp[j-coins[i]]，那么只需要加上一個錢幣coins[i]即dp[j-coins[i]]+1就是dp[j].
step4:求最小個數，錢幣有順序無順序都可以，都不影響錢幣的最小個數。
求組合數，for外層遍歷物體，for內層遍歷背包。求排列，外層for遍歷背包，內層for循環遍歷物品。
本題兩者均可。

class Solution { public:int coinChange(vector<int>& coins, int amount) {vector<int> dp(amount+1,INT_MAX);dp[0] = 0;for(int i = 0; i < coins.size(); i++) //物品{for(int j = coins[i]; j <= amount; j++) //背包容量{//如果為初值，跳過，沒有必要計算，而且計算會溢出if(dp[j-coins[i]] == INT_MAX) continue;dp[j] = min(dp[j-coins[i]]+1,dp[j]);}}//如果沒有被賦值，那么說明沒有解，返回-1if(dp[amount] == INT_MAX) return -1;return dp[amount];} };

279. 完全平方數

完全平方數就是物品(無限使用)，湊成的正整數n就是背包。問湊滿背包最少有多少個物品。
step1:dp[j]，湊滿容量為j的背包最少物品數目。
step2:dp[j] = min(dp[j-i*i] +1,dp[j]);
step3: dp[0] = 0；雖然0符合完全平方數要求，但是題目要求是從1開始找完全平方數。其余下標的dp初始值為INT_MAX
step4:對于求最小方法數的，內外層不需要管循環。

class Solution { public:int numSquares(int n) {vector<int> dp(n+1,INT_MAX);dp[0] = 0;for(int i = 1; i <= n; i++){for(int j = i*i; j <= n; j++){if(dp[j-i*i] == INT_MAX) continue;dp[j] = min(dp[j-i*i]+1,dp[j]);}}return dp[n];} };

139. 單詞拆分

物品：wordDict中的string，可以重復取
背包:s字符串
step1: dp[i]：字符串長度為i，dp[i]為true，表示可以拆分一個或者多個在字典中出現的單詞。
step2: 如果dp[j]為true，則[j,i]這個區間的子串出現在字典里，那么dp[i]一定為true。
所以遞推公式為;

if(wordSet.find(s.substr(j,i-j)) != wordSet.end() && dp[j]) dp[i] = true;

step3:dp[0]字符串為0，為了方便推導公式，我們只好給他true，不然公式推導下去全為false。
step4:由于是求最小方法數，所以內外層遍歷順序無需在意

class Solution { public:bool wordBreak(string s, vector<string>& wordDict) {//將vector放入set中，加快查詢unordered_set<string> wordSet(wordDict.begin(),wordDict.end());vector<bool> dp(s.size()+1,false);dp[0] = true;for(int i = 0; i <= s.size(); i++) //背包容量{for(int j = 0; j <= i; j++) //物品{string str = s.substr(j,i-j); if(wordSet.find(str) != wordSet.end() && dp[j] == true){dp[i] = true;}}}return dp[s.size()];} };

總結

以上是生活随笔為你收集整理的《dp补卡——完全背包问题》的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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