Zmn-0351 薛問(wèn)天：再談數(shù)學(xué)概念的定義，評(píng)新華先生《0345》

【編者按。下面是薛問(wèn)天先生發(fā)來(lái)的文章。是對(duì)《Zmn-0345》新華先生文章的評(píng)論。現(xiàn)在發(fā)布如下，供網(wǎng)友們共享。請(qǐng)大家關(guān)注并積極評(píng)論。另外本《專欄》重申，這里純屬學(xué)術(shù)討論，所有發(fā)布的各種意見僅代表作者本人，不代表本《專欄》編輯部的意見。】

再談數(shù)學(xué)概念的定義，

評(píng)新華先生《0345》

薛問(wèn)天

xuewentian2006@

。

(一)，抽象的「有窮」和「無(wú)窮」不是數(shù)學(xué)概念 。

抽象的「有窮」和「無(wú)窮」不是數(shù)學(xué)概念 ，所以在數(shù)學(xué)中并沒有「有窮」和「無(wú)窮」的數(shù)學(xué)定義 。在數(shù)學(xué)中只有具體的「有窮集」和「無(wú)窮集」的概念，其它的「有窮小數(shù)」和「無(wú)窮小數(shù)」，以及「有窮序列」和「無(wú)窮序列」，「有窮枝」和「無(wú)窮枝」... 等數(shù)學(xué)概念都是在「有窮集」和「無(wú)窮集」定義的基礎(chǔ)上定義的數(shù)學(xué)概念 。例如「有窮小數(shù)」是小數(shù)點(diǎn)后的位數(shù)集是有窮集的小數(shù)，而「無(wú)窮小數(shù)」是小數(shù)點(diǎn)后的位數(shù)集是無(wú)窮集的小數(shù)。「有窮序列」是序列的項(xiàng)集是有窮集的序列，而「無(wú)窮序列」是序列的項(xiàng)集是無(wú)窮集的序列。「有窮枝」是結(jié)點(diǎn)集是有窮集的枝，而「無(wú)窮枝」是結(jié)點(diǎn)集是無(wú)窮集的枝，... 等。

在數(shù)學(xué)中任何概念，都不能按它的名稱的字面含義來(lái)理解，而要按它的定義鏈，一步步回溯弄清它的確切含義。那些用查漢語(yǔ)詞典或其它方法，了解詞匯的字面含義的語(yǔ)義學(xué)方法來(lái)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，是絕對(duì)錯(cuò)誤的。我反復(fù)強(qiáng)調(diào)上數(shù)學(xué)課不是上語(yǔ)文課。

例如，要了解數(shù)學(xué)概念「自然數(shù)」的含義，必須根據(jù)「自然數(shù)」的數(shù)學(xué)定義，而絕不是先去了解什么是「自然」，然后才能定義「自然數(shù)」。數(shù)學(xué)概念「無(wú)窮集」也一樣，有了上述認(rèn)識(shí)，我想新華先生就不會(huì)提問(wèn)這樣的問(wèn)題: 【沒有「無(wú)窮」的定義，如何定義「無(wú)窮集」呢？】因?yàn)闆]有「自然」的定義，完全可以用皮亞諾公理等方法定義自然數(shù)。同樣在數(shù)學(xué)中沒有「無(wú)窮」的定義，照樣可以用同自然數(shù)的一一對(duì)應(yīng)的方法來(lái)定義「無(wú)窮(可數(shù)無(wú)窮)集」！

新華先生說(shuō)【「無(wú)窮」和「無(wú)窮集」是兩個(gè)不同的概念。】沒有錯(cuò)，「無(wú)窮」不是數(shù)學(xué)概念，所以沒有數(shù)學(xué)定義。而「無(wú)窮集」是數(shù)學(xué)概念，所以有數(shù)學(xué)定義。

另外不要把「定義」同「概念屬性的解釋和說(shuō)明」相混淆。【無(wú)窮是有限的不斷延伸，有始無(wú)終，】這只能是一種解釋和說(shuō)明，不能作為數(shù)學(xué)定義，因?yàn)橛谜Z(yǔ)并不嚴(yán)格，是一種描述性的語(yǔ)言，不是有定義的數(shù)學(xué)語(yǔ)言。

我們的方法是用皮亞諾公理和集合論公理定義「自然數(shù)」和斷定它的存在，然后再用自然數(shù)和一一對(duì)應(yīng)定義「有窮集」和「無(wú)窮集」。這是嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定義方法。

即【任意有窮集】指的就是存在一個(gè)n，能使其同集合｛0,1,2,...,n)建立一一對(duì)應(yīng)的集合。【無(wú)窮集(這里指的是可數(shù)無(wú)窮集)】，指的是能同全體自然數(shù)集N一一對(duì)應(yīng)的集合。從這個(gè)定義就可明顯區(qū)分【任意有窮集】同【無(wú)窮集】的不同。

潛無(wú)窮觀認(rèn)為，由于任意自然數(shù)都可以通過(guò)“+1”而得到一個(gè)新的自然數(shù)，于是認(rèn)為這個(gè)集合的【生成過(guò)程】永遠(yuǎn)不會(huì)完成結(jié)束，所以認(rèn)為自然數(shù)集不是一個(gè)確定的集合。

而實(shí)無(wú)窮觀認(rèn)為，任何自然數(shù)+1還是自然數(shù)，沒有最大自然數(shù)，這只是自然數(shù)集的屬性，并不影響由所有的自然數(shù)構(gòu)成一個(gè)確定的數(shù)學(xué)對(duì)象，因而承認(rèn)它是一個(gè)由所有自然數(shù)作為元素構(gòu)成的集合。它包括了所有產(chǎn)生的自然數(shù)，因而集合不會(huì)再增加新的自然數(shù)。這并不意味著集合中有最大自然數(shù)。

每個(gè)自然數(shù)n，都是有窮數(shù)，是指任何自然數(shù)n都可由0經(jīng)有窮次的+1運(yùn)算而得到，不存在無(wú)窮自然數(shù)，也不存在最大自然數(shù)。但是所有自然數(shù)的集合卻是一個(gè)確定的數(shù)學(xué)對(duì)象:無(wú)窮集合。這就是實(shí)無(wú)窮觀對(duì)自然數(shù)和對(duì)所有自然數(shù)的集合的認(rèn)識(shí)。

?(二、五)，要了解這里討論的來(lái)由。

?(1)，新華先生問(wèn)【實(shí)際上從薛問(wèn)天先生本意就是“區(qū)間(0,1)中不是有理數(shù)就是無(wú)理數(shù)”，干脆說(shuō)“區(qū)間(0,1)挖去所有可數(shù)多個(gè)有理數(shù)，剩余的是不可數(shù)多個(gè)無(wú)理數(shù)”，何必要強(qiáng)調(diào)不可數(shù)多個(gè)無(wú)窮序列呢？】

【對(duì)于區(qū)間(0,1)中任意一個(gè)無(wú)理數(shù)，都有一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，而這個(gè)確定的對(duì)應(yīng)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)值就是這個(gè)無(wú)理數(shù)，與不可數(shù)無(wú)窮多個(gè)無(wú)窮序列沒有任何關(guān)系，何必多此一舉呢？】

新華先生的提問(wèn)，說(shuō)明他不了解我們這里所討論的問(wèn)題的來(lái)由。我們這里所討論的一切問(wèn)題都是由黃汝廣先生提出的問(wèn)題引起的。【何必要強(qiáng)調(diào)不可數(shù)多個(gè)無(wú)窮序列呢？】【何必多此一舉呢？】只有了解了問(wèn)題的原由，才能知道為什么【何必】。

?(2)，事出有因，我們的討論是針對(duì)黃汝廣先生在《0308》中提出的一個(gè)【證明】。后經(jīng)《0311、0314、0316、0319、0321...》等一系列的討論。基本思路是這樣的。

黃汝廣先生認(rèn)為，在區(qū)間(0,1)中挖去全部可數(shù)無(wú)窮個(gè)有理點(diǎn)后，剩余的是一個(gè)按某種編號(hào)規(guī)定用自然數(shù)編號(hào)的無(wú)窮序列，即有可數(shù)無(wú)窮個(gè)剩余部分。他證明其中每個(gè)部分都不可能是區(qū)間，而只能是空集或只包含一個(gè)無(wú)理數(shù)的集合。于是得出了剩下的是可數(shù)無(wú)窮多個(gè)無(wú)理數(shù)的結(jié)論。這與我們己知的剩余的應(yīng)是不可數(shù)無(wú)窮多個(gè)無(wú)理數(shù)的事實(shí)相矛盾。

這里的問(wèn)題是黃先生的這個(gè)推論錯(cuò)在哪里。我指出他的推理錯(cuò)誤是，由于不同的編號(hào)規(guī)定會(huì)產(chǎn)生不同的無(wú)窮序列，所以這里剩余的不是黃先生所說(shuō)的只有一個(gè)無(wú)窮序列，而是有不可數(shù)無(wú)窮多個(gè)這樣的無(wú)窮序列(因?yàn)橛胁豢蓴?shù)無(wú)窮多種編號(hào)規(guī)定)，從而剩余的是不可數(shù)無(wú)窮多個(gè)無(wú)理數(shù)，而不是可數(shù)無(wú)窮多個(gè)無(wú)理數(shù)。

這里所說(shuō)的按我們的編號(hào)規(guī)定形成的各無(wú)窮序列的各個(gè)項(xiàng)，可以嚴(yán)格證明，或者是空集或者是由一個(gè)無(wú)理數(shù)構(gòu)成的單個(gè)元素集。而挖去所有有理數(shù)后的剩余部分是所有這些無(wú)窮序列的項(xiàng)的并集，因而是不可數(shù)無(wú)窮多個(gè)無(wú)理數(shù)。把區(qū)間中全體無(wú)理數(shù)，看作是每個(gè)無(wú)理數(shù)構(gòu)成的單個(gè)元素集的并集，這并不影響無(wú)理數(shù)集的稠密性。

另外要解釋一下，在實(shí)數(shù)理論中的「稠密性:」和「連續(xù)性」有明確的定義，不要用字面上的稠密和連續(xù)的通常語(yǔ)義來(lái)理解和解釋。有理數(shù)集和無(wú)理數(shù)集只滿足稠密性但不滿足連續(xù)性，但實(shí)數(shù)集既滿足稠密性又滿足連續(xù)性。因而新華先生說(shuō)【離散與連續(xù)是對(duì)應(yīng)的，是對(duì)立的概念，稀疏與稠密是對(duì)應(yīng)的，是對(duì)立的概念，稠密是建立在離散概念基礎(chǔ)上的，...】并不符合「稠密性」和「連續(xù)性」的數(shù)學(xué)定義。如果【稠密是建立在離散概念基礎(chǔ)上的】，怎么解釋「實(shí)數(shù)集既滿足稠密性又滿足連續(xù)性」，和「康托集是完備(連續(xù))的，卻不滿足稠密性」？

?(三)，關(guān)于【線段是無(wú)限可分的】

新華先生說(shuō)【無(wú)窮多個(gè)有理數(shù)點(diǎn)只是相當(dāng)于分點(diǎn)，線段是無(wú)限可分的，不會(huì)分到只剩下單個(gè)的點(diǎn)，否則，如果只剩下單個(gè)的點(diǎn)，就不能繼續(xù)分下去，只能是有限可分，線段就不是無(wú)限可分的。】

其實(shí)，【線段是無(wú)限可分的】并不是一個(gè)嚴(yán)格的數(shù)學(xué)用語(yǔ)，指的是「線段經(jīng)任意有窮次分割后，仍可繼續(xù)再分。」在我們這里相當(dāng)于在說(shuō)「單位開區(qū)間，挖掉任意有窮個(gè)分點(diǎn)后，剩余的仍是有窮個(gè)開區(qū)間，可以繼續(xù)再挖走區(qū)間中的分點(diǎn)。」并未涉及把全體有理數(shù)這無(wú)窮個(gè)點(diǎn)「挖完以后」的剩余情況。這里的【無(wú)限可分】說(shuō)的是在「挖完以前」可以繼續(xù)再挖。事實(shí)是「挖完以后」所剩下的只是所有的無(wú)理數(shù)，而沒有可分的區(qū)間了。黃汝廣先生的推理中也己證明了這點(diǎn)。因?yàn)槿绻€有區(qū)間，區(qū)間中就還有有理數(shù)未被挖完。

?(四)，證明中的無(wú)窮序列和實(shí)數(shù)表示的【柯西序列】無(wú)關(guān)

新華先說(shuō)【在證明中引入“最后剩余的部分是不可數(shù)無(wú)窮多個(gè)序列，而每個(gè)無(wú)窮序列的并集是空集或是一個(gè)無(wú)理數(shù)，從而證明了最后剩余的是不可數(shù)多個(gè)無(wú)理數(shù)。”有這么意義呢？難道康托爾不是用無(wú)窮序列定義實(shí)數(shù)的嗎？從“最后剩余的部分是不可數(shù)無(wú)窮多個(gè)序列”到“而每個(gè)無(wú)窮序列的并集是空集或是一個(gè)無(wú)理數(shù)，從而證明了最后剩余的是不可數(shù)多個(gè)無(wú)理數(shù)。”這難道與康托爾用“柯西序列”定義無(wú)理數(shù)沒有關(guān)系嗎？】

我這里證明中的無(wú)窮序列和實(shí)數(shù)表示的【柯西序列】，確實(shí)沒有任何關(guān)系。

在我的證明中，最后剩余的部分是不可數(shù)無(wú)窮多個(gè)無(wú)窮序列，而按照我的編號(hào)規(guī)定所生成的每個(gè)無(wú)窮序列的所有項(xiàng)中，頂多只有一個(gè)項(xiàng)(注。還可證對(duì)其它編號(hào)規(guī)定生成的無(wú)窮序列，其中頂多只有有窮個(gè)項(xiàng))是一個(gè)無(wú)理數(shù)構(gòu)成的單個(gè)元素集，其它的項(xiàng)全部是空集。于是每個(gè)無(wú)窮序列的并集是空集或是一個(gè)(或有窮個(gè))無(wú)理數(shù)，從而證明了最后剩余的是不可數(shù)多個(gè)無(wú)理數(shù)。也就是說(shuō)，我這里的無(wú)窮序列的項(xiàng)全部是空集或頂多只有一個(gè)(或有窮個(gè))無(wú)理數(shù)構(gòu)成的單個(gè)元素集。求的是這無(wú)窮多個(gè)集合(項(xiàng))的并集，同極限概念無(wú)關(guān)。

而定義實(shí)數(shù)的「柯西序列」，是指任何一個(gè)有理數(shù)的柯西序列構(gòu)成一個(gè)無(wú)理數(shù)，柯西序列的項(xiàng)是有理數(shù)。另外，證明實(shí)數(shù)完備性(也稱連續(xù)性)是指，實(shí)數(shù)的任何「柯西序列」的極限是實(shí)數(shù)。柯西序列的項(xiàng)是實(shí)數(shù)。這同我們證明的無(wú)窮序列是兩碼事，根本沒有絲亳關(guān)系。

(五)，見(二、五)。

(六)，潛無(wú)窮觀者無(wú)法參與這些問(wèn)題的討論。

新華先生說(shuō)【我確實(shí)認(rèn)為，「在區(qū)間(0,1)中挖去可數(shù)無(wú)窮多個(gè)全部有理數(shù)」是不可能的。】

如果認(rèn)為區(qū)間(0,1)中的點(diǎn)由可數(shù)無(wú)窮個(gè)有理數(shù)點(diǎn)和不可數(shù)無(wú)窮個(gè)無(wú)理數(shù)點(diǎn)構(gòu)成，那么挖去可數(shù)無(wú)窮個(gè)有理數(shù)點(diǎn)后，自然就剩下不可數(shù)個(gè)無(wú)理點(diǎn)。我不認(rèn)為這個(gè)理論有什么地方不能【接受客觀實(shí)際的檢驗(yàn)】。潛無(wú)窮觀者連這些最基本的無(wú)窮集的并、交、差集的運(yùn)算都不接受，實(shí)在是寸步難行，只好不參與這些問(wèn)題的討論。兩種無(wú)窮觀無(wú)法通過(guò)討論求得共識(shí)。

(七)，關(guān)于無(wú)窮個(gè)閉集的并集可能不是閉集的例子。

這個(gè)例子源于教科書: 實(shí)變函數(shù)論(江澤堅(jiān))第34頁(yè)。可在網(wǎng)上在線閱讀。鏈接地址是:

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新華先生辯解說(shuō)【...我在講這句話是有特定環(huán)境下的，是在區(qū)間 (0,1)中挖去可數(shù)無(wú)窮多個(gè)全部有理數(shù)情況下講的，這些有理數(shù)是離散的，每一 個(gè)有理數(shù)構(gòu)成點(diǎn)是閉集，它們是互不相交的，在這個(gè)前提下，顯然可數(shù)無(wú)窮多 個(gè)全部有理數(shù)集并集也是閉集。】

新華先生講的這句話仍然不對(duì)，你沒有證明，也證明不了【無(wú)窮個(gè)互不相交的閉集的并集一定是閉集】。仍然存在無(wú)窮個(gè)互不相交的閉集的并集可能不是閉集的例子。實(shí)際上，區(qū)間中全體有理數(shù)集并不是閉集。因?yàn)槿魏我粋€(gè)無(wú)理數(shù)都是有理數(shù)集的聚點(diǎn)，但是它并不屬于有理數(shù)集，可見有理數(shù)集并不是閉集。

(1,2,3)，關(guān)于集合的并、交運(yùn)算及無(wú)窮個(gè)集合的并交運(yùn)算都有嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定義。這里并不需要極限，而∞也只是個(gè)符號(hào)，運(yùn)算結(jié)果都是確定的集合，用等號(hào)并無(wú)任何【不妥】。詳細(xì)定義內(nèi)容可參閱《實(shí)變函數(shù)論(江澤堅(jiān))》第1章。

(4)，在例子中，可按定義嚴(yán)格推出這無(wú)窮個(gè)閉區(qū)間的并是開區(qū)間，這無(wú)窮個(gè)開區(qū)間的交是閉區(qū)間。這里的推理是嚴(yán)格的。你之所以感到【反常】，【不可思議】和【無(wú)法解釋清楚】，是因?yàn)槟銢]有搞清楚什么是無(wú)窮個(gè)集合的交同并的運(yùn)算的定義。當(dāng)你把運(yùn)算結(jié)果的含義想清楚了，上述結(jié)論就是顯而易見的事。

(5)，新華先生畫的是區(qū)間端點(diǎn)的圖，而應(yīng)進(jìn)一步畫出相應(yīng)區(qū)間[1/n,1-1/n]的圖來(lái)。要使下端奌小于上端點(diǎn)，這里要求n＞2，即從下端點(diǎn)y=1/n到上端點(diǎn)y=1-1/n畫一條線表示區(qū)間。隨著n的增大區(qū)間在不斷加長(zhǎng)。結(jié)果區(qū)間應(yīng)是這些無(wú)窮個(gè)閉區(qū)間的并。顯然(0,1)中的任何點(diǎn)，都存在n使此點(diǎn)在相應(yīng)的閉區(qū)間之中。正因?yàn)槎它c(diǎn)曲線同漸近線y=0,y=1永不相交，對(duì)任何n，相應(yīng)的區(qū)間都達(dá)不到，即不可能包括0和1。所以結(jié)果區(qū)間(并)不包括0和1，是個(gè)開區(qū)間(0,1)。

同理，無(wú)窮個(gè)開區(qū)間(-1-1/n，1+1/n)都包括-1和1，所以它們的交即結(jié)果區(qū)間，是閉區(qū)間[-1，1]。這完全經(jīng)得起【實(shí)踐的檢驗(yàn)】。新華先生之所以覺得【結(jié)論不符合客觀存在的事實(shí)，是很不妥的；】是因?yàn)闆]有搞清楚這無(wú)窮個(gè)區(qū)間的并和交的實(shí)際含義。

(6)，新華先生說(shuō)【我是喜歡看書的】。這點(diǎn)我很欣賞。特推薦《實(shí)變函數(shù)論(江澤堅(jiān))》一書供新華先生參考。我認(rèn)為【不迷信書】，【不是一味的囫圇吞棗的接收】這些都是對(duì)的。但是另一方面也要強(qiáng)調(diào)認(rèn)真讀書，特別是數(shù)學(xué)專業(yè)書，要一個(gè)字一個(gè)字的讀。力求讀懂，了解作者的本意。不要還沒讀清楚就作評(píng)論，而應(yīng)是在正確理解后再作評(píng)論。把自己的評(píng)論建立在堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)之上。

?(八)，其它幾個(gè)問(wèn)題。

(1)，關(guān)于勒貝格測(cè)度。

新華先生說(shuō)【...如果僅僅談點(diǎn)，線上任意兩點(diǎn)間都有無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)，這無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)都沒有長(zhǎng)度，如何能夠構(gòu)成兩點(diǎn)間距離呢？勒貝格測(cè)度理論得到(0,1)里所有有理數(shù)的測(cè)度為 0，是用直接法證明的，為什么不用同樣的方法去證明(0,1)里所有無(wú)理數(shù)的測(cè)度為 1 呢？不可測(cè)集實(shí)際就是一個(gè)悖論，它充分表明勒貝格測(cè)度理論也不盡完善。】

「長(zhǎng)度」是對(duì)區(qū)間而言的，而「測(cè)度」是「長(zhǎng)度」概念的拓展，使得除區(qū)間有「測(cè)度」外，一般的構(gòu)不成區(qū)間的點(diǎn)集也有「測(cè)度」，而且希望能有同「長(zhǎng)度」同樣的規(guī)則。如對(duì)于區(qū)間的長(zhǎng)度，下述規(guī)則成立。任何互不相交的有限或可數(shù)無(wú)窮多個(gè)區(qū)間并集的總長(zhǎng)度等于各區(qū)間長(zhǎng)度之和。那么對(duì)一般點(diǎn)集的測(cè)度來(lái)說(shuō)，是否有同樣的規(guī)則呢？即是否有「任何互不相交的有限或可數(shù)無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)集的并集的總測(cè)度等于各點(diǎn)集的測(cè)度之和。」實(shí)際證明這是不可能的，無(wú)論如何定義測(cè)度，都辦不到這點(diǎn)，這就是因?yàn)榇嬖谟兴^的「不可測(cè)集」。排除掉不可測(cè)集，上述規(guī)則就可成立。這就是勒貝格測(cè)度。因而存在不可測(cè)集并不是什么【悖論】，也不是勒貝格測(cè)度理論【不盡完善】，而是【理論要接受實(shí)際的檢驗(yàn)】，不能隨心所欲，讓理論做實(shí)際辦不到的事。正因?yàn)槔肇惛駵y(cè)度堅(jiān)持上述規(guī)則，「任何互不相交的有限或可數(shù)無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)集的并集的總測(cè)度等于各點(diǎn)集的測(cè)度之和」，才推出由全部可數(shù)無(wú)窮個(gè)測(cè)度為0的有理數(shù)組成的點(diǎn)集的測(cè)度為0，再根據(jù)區(qū)間[0,1]的測(cè)度等于1，以及區(qū)間這個(gè)點(diǎn)集是其中的全體有理數(shù)集和全體無(wú)理集的并集，顯然就可得出由區(qū)間中全體不可數(shù)無(wú)窮多個(gè)無(wú)理數(shù)構(gòu)成的點(diǎn)集的測(cè)度等于1。這一切都是順理成章的事，合乎邏輯沒有矛盾，沒有什么【不可思議】。

(2)，關(guān)于超實(shí)數(shù)。

新華先生說(shuō)【超實(shí)數(shù)理論的出現(xiàn)就是認(rèn)為實(shí)數(shù)表示的點(diǎn)不能構(gòu)成有長(zhǎng)度的區(qū)間，而用非標(biāo)準(zhǔn)數(shù)來(lái)填充實(shí)數(shù)之間的“隙縫”，是對(duì)點(diǎn)構(gòu)成線的理論的挑戰(zhàn)。】

事實(shí)并非如此。新華先生這么說(shuō)，給不出具體論證，純屬主觀猜想，毫無(wú)根據(jù)。超實(shí)數(shù)不是這個(gè)意思。

?(3)，關(guān)于開區(qū)間和閉區(qū)間，稠密性和連續(xù)性。

新華先生說(shuō)區(qū)間中的無(wú)理數(shù)是【稠密地分布在區(qū)間中的，但是并不連續(xù)，】這句話是對(duì)的。但是說(shuō)【即使填入挖去的有理數(shù)也不能構(gòu)成連續(xù)的區(qū)間】，沒有說(shuō)清楚原因。應(yīng)在后面補(bǔ)上半句「再補(bǔ)上區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)，成為閉區(qū)間，就具有連續(xù)性了。」

新華先生說(shuō)的【連續(xù)是沒有“隙縫”的】，這只是一個(gè)直觀的說(shuō)明和解釋，而不是連續(xù)性的數(shù)學(xué)定義。連續(xù)性也叫完備性，可以這樣定義。「稱一個(gè)點(diǎn)集是完備的(即連續(xù)的)，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)集的所有聚點(diǎn)屬于該點(diǎn)集而且點(diǎn)集的所有點(diǎn)都是聚點(diǎn)。」在上述例子中，因?yàn)閰^(qū)間的點(diǎn)全是聚點(diǎn)，而且端點(diǎn)也是聚點(diǎn)，閉區(qū)間的端點(diǎn)屬于區(qū)間，而開區(qū)間的端點(diǎn)不屬于區(qū)間，說(shuō)明閉區(qū)間[0,1]具有完備性，而開區(qū)間(0,1)不具有完備性。

新華先生說(shuō)【既然認(rèn)為區(qū)間是由點(diǎn)構(gòu)成，如果將區(qū)間[0，1]去掉端點(diǎn) 0 和 1，就必然會(huì)有點(diǎn)來(lái)補(bǔ)充作為去掉點(diǎn) 0 和 1 的區(qū)間的端點(diǎn)，因?yàn)樗悬c(diǎn)都是平等的，既然有點(diǎn)來(lái)充當(dāng)區(qū)間的端點(diǎn)，必然還是閉區(qū)間，為什么還要用(0，1)來(lái)表述成開區(qū)間呢？難道這不令那些認(rèn)為點(diǎn)構(gòu)成線的人深思嗎？】

如果將閉區(qū)間[0，1]去掉端點(diǎn) 0 和 1，就是開區(qū)間(0,1)。如果再補(bǔ)上端點(diǎn)0和1，自然就又成閉區(qū)間[0,1]了。不知新華先生的問(wèn)題在哪里，一個(gè)線段包含端點(diǎn)稱為閉區(qū)間，不包含端點(diǎn)稱為開區(qū)間。不知這有什么可深思的問(wèn)題？

(全文完)

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