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在學習過一次函數和二次函數(修改版)后,?我們知道, 一次函數y=kx+b當一次項系數k大于零時是增函數, 小于零時是減函數.?二次函數y=ax²+bx+c當二次項系數a大于零時圖象沿x軸從左向右先減后增, a小于零時先增后減.?

可以想象, 次數更高的函數, 在定義域上的性質更復雜. 為了精確刻畫函數的性質, 數學家引入了區間的概念.?

設a, b是兩個實數, 并且a

(1) 滿足不等式?a?≤?x?≤?b 的實數的集合叫做閉區間,?記作[a, b], 用數軸表示就是

實心圓點表示區間包含該端點.

(2)?滿足不等式 a < x < b 的實數的集合叫做開區間, 記作(a, b), 用數軸表示就是

空心圓點表示區間不包含該端點.

(3)?滿足不等式?a?≤?x?< b?或?a < x?≤?b的實數x的集合叫做半開半閉區間,?分別表示為[a, b)或(a, b]. 左閉右開區間[a,?b)在數軸上的表示是

(請嘗試畫出左開右閉區間(a, b]在數軸上的表示.)

a, b叫做區間的端點. 方括號 “[” 或 “]” 表示區間包含該端點, 圓括號 “(” 或 “)” 表示區間不包含該端點.?

實數集R用區間(－∞, +∞)表示. 符號∞叫做無窮大,?－∞, +∞?分別叫做負無窮大和正無窮大. 負實數集用區間(－∞,?0)表示, 正實數集用區間(0,?+∞)表示.

單調函數.?現在我們使用區間來描述單調函數的定義.?如果函數

在定義域內的某個區間D上對任意的

都有

則稱它是區間D上的增函數.?如果對任意的

都有

則稱它是區間D上的減函數.?增函數和減函數統稱為單調函數.

二次函數y=ax²(a>0)在區間(－∞,?0]上是減函數, 在區間(0,?+∞)上是增函數, 并且圖象關于y軸對稱. 關于y軸對稱的函數叫做偶函數. 它的定義如下.

偶函數. 如果函數

對定義域內的任意一個x值,?都滿足

就稱它是偶函數(even function). 上面的等式關系表明偶函數的圖象關于y軸對稱. 二次函數y=ax²滿足條件 a(-x)²=ax²,?所以是偶函數.?

奇函數. 如果函數

對定義域內的任意一個x值,?都滿足

就稱它是奇函數(odd?function). 上面的等式表明奇函數的圖象關于原點對稱. 三次函數y=x³是奇函數, 因為(-x)³=-x³.?

函數有自變量、對應法則和函數值, 函數值也叫因變量. ?自變量的取值范圍叫做定義域, 全部函數值的集合叫做值域. 定義域、對應法則和值域構成函數的三要素.?

下面, 我們來認識三個常用的基本初等函數: 指數函數、對數函數和冪函數, 并考察它們的定義域、對應法則、值域以及單調性和奇偶性.?

指數函數.?函數

叫做指數函數(exponential function), 定義域是R, a是常數. 要求a≠1是為了排除y=1的平凡情況. 規定a>0的原因在下面給出.

指數函數就是指數是自變量的函數. a^x叫做a的x次冪.?a叫做冪的底數,?x叫做冪的指數.?x的取值范圍是R, 因此a^x是實數指數冪. 要使指數函數有意義, 需要定義實數指數冪和它的運算法則.

在初中數學中我們學過正整數指數冪aⁿ(a∈R, n∈N*)和它的運算法則(m, n都是正整數):

一個自然的想法是把正整指數冪aⁿ的運算法則推廣到實數指數冪.

首先推廣到整數指數冪aⁿ(a≠0, n∈Z,?Z代表整數集). 這要求取消第(3)條法則中m>n的限制. 如果m=n, 要使第(3)條法則?

成立, 由于aⁿ/aⁿ=1, 只需要令零指數冪a⁰=1即可. 如果m, 要使第(3)條法則

成立, 由于a^m/aⁿ=1/a^n-m, 只需要令a^m-n=1/a^n-m即可, 這就得到負整數指數冪的定義a^-p=1/a^p(因為mp=n-m, p<0). 有了零指數冪和負整數指數冪的定義, 容易驗證正整數指數冪的運算法則對整數指數冪aⁿ(a≠0, n∈Z)也成立.

接著將整數指數冪運算法則推廣到有理數指數冪a^α(a≠0, α∈Q, Q是有理數集). 令m=1/n, 由上面的第(2)條法則得到?(a^1/n)ⁿ=a. 如何使?(a^1/n)ⁿ=a成立呢?(因為上述法則現在只對整數指數冪成立)

我們知道滿足x²=2的x叫做2的平方根, 記作

在實數范圍內, 滿足x²=a(a≥0)的x叫做a的平方根(或二次方根、二次根式), 記作

滿足x³=a(a∈R)的x叫做a的立方根(或三次方根、三次根式), 記作

一般地, 滿足xⁿ=a(a∈R, n>1,?n∈N*)的實數x叫做a的n次方根. 當n是偶數時, a必須是非負實數,?把a開n次方得到

當n是奇數時,?a是任意實數,?把a開n次方得到

為了避免對指數n的奇偶性進行討論, 從現在開始令a>0(這就是指數函數中要求a>0的原因).?這樣對任意的 n>1且n∈N*,?由xⁿ=a(a>0?)得到

再代入xⁿ=a得到

因此要使法則(a^1/n)ⁿ=a成立,?只需令

類似地, 如果存在實數x,?使得xⁿ=a^m(a>0, n>1, n, m∈N*,?且m/n是既約分數), 那么,?把a^m開n次方得到

要使第(2)條法則(a^m/n)ⁿ=a^(m/n)n=a^m對正分數成立,?只需令

從而得到正有理數指數冪a^m/n(a>0, n>1,?n, m∈N*,?且m/n是既約分數)的定義. 再利用負整數指數冪的定義, 要使第(2)條法則對負有理數指數冪成立, 需要規定

從而得到負有理數指數冪的定義. 至此我們就完成了有理數指數冪的定義. 使用這個定義容易驗證整數指數冪aⁿ(a≠0, n∈Z)的運算法則對有理數指數冪a^α?(a>0, α∈Q)也成立.

最后將有理數指數冪a^α(a>0, α∈Q)的法則推廣到無理數指數冪. 由于無理數指數冪的定義需要用到極限的概念, 這里暫不討論, 只需要知道結論是可以推廣就行了.?

最終得到實數指數冪a^α?(a>0, α∈R)的運算法則是 (a>0, b>0, α,?β∈R)

練習: 計算或化簡.

指數函數的圖象和性質.?有了實數指數冪的定義和運算法則, 就可以考察指數函數

的圖象和性質了. 指數函數y=a^x的圖象和性質與a的取值有關, 我們取a=2, 3, 1/2, 1/3, 畫出這四個函數的圖象, 然后歸納出指數函數的性質.

例:?畫出函數y=2^x、y=3^x、y=(1/2)^x和y=(1/3)^x的圖象.?

通過描點和連線, 得到這四個指數函數的圖象, 見下圖.

觀察這四個圖象, 我們歸納出指數函數y=a^x(a>0且a≠1)性質是:

(1) 指數函數的定義域是R, 值域是區間(0,?+∞).

(2) 指數函數都經過點(0, 1),?這是因為當x=0時,?y=a⁰=1.

(3) 當a>1時,?y=a^x是R上的增函數, 并且當x>0時,?y>1; 當x<0時 0

(4) 當0a^x是R上的減函數, 并且當x>0時,?01.

(5)指數函數的圖象無限靠近x軸.

練習: 利用指數函數的性質, 比較下列各題中兩個值的大小.

對數函數. 要定義對數函數, 首先要定義對數.?

如果令p=a^x(a>0且a≠1),?由x的值就可以得到對應的p值. 例如當x=2時, p=a².?

反過來, 知道p的值, 由p=a^x計算x的值, 這時x就叫做以a為底p的對數,?用符號log(log是logarithm的縮寫)記作

其中a叫做對數的底數, p叫做真數.?因為a>0, 所以p=a^x>0. 所以真數大于零.

有了對數的定義后, 由p=a^x, 可以得到

反過來, 由x=log_ap, 可以得到

例如, 16=4², 那么2=log₄16.?2就是以4為底16的對數. 反過來, 如果2=log₄16, 那么16=?4².??

將x=log_ap代入p=a^x, 得到恒等式

由1=a⁰, 得到0=log_a1. 由a=a¹, 得到1=log_aa. 因此得到對數log_ap的三個重要性質:?

(1)?真數p>0;

(2)?1的對數是0, 即log_a1=0;?

(3) 底數的對數是1, 即log_aa=1.?

利用對數x=log_ap和p=a^x的關系可以推導出對數的運算法則(a>0且a≠1,?p>0, q>0):

第一條法則就是積的對數等于對數的和, 第二條就是商的對數等于對數的差.?第一條法則對兩個以上正數的乘積也成立, 仍然等于每個正數對數的和.

log₁₀p是以10為底p的對數, 叫做常用對數. 用一個簡單的符號

來表示. log_ep是以無理數e=2.71828...為底p的對數, 叫做自然對數, 用一個簡單的符號

來表示.?

常用對數和自然對數可以使用對數表或科學計算器得到. 在計算其它底數的對數時, 如果無法直接得到結果, 可以使用下面的換底公式, 轉換成常用對數或自然對數的商,?就可以通過對數表或計算器計算了.

(設log_bp=x, 那么p=b^x, 兩邊同時取以a為底的對數,?得到log_ap=log_ab^x=xlog_ab, 整理后就得到的換底公式)

練習: 計算下列對數的值.

對數函數的圖象和性質.?有了對數的概念后, 就可以定義對數函數了. 函數

叫做對數函數(logarithmic function), 定義域是(0, +∞),? 也就是x>0. y=log_ax的圖象和性質與常數a的取值有關, 我們取兩個不同的a值, 畫出函數的圖象, 并歸納出它的性質.

例:??分別取a=2和0.5,使用描點連線法畫出函數y=log₂x和y=log_0.5x的圖象,?見下圖.

觀察這兩個函數的圖象,?歸納出對數函數y=log_ax(a>0且a≠1)的性質:

(1) 對數函數的定義域是區間(0, +∞),?值域是R.

(2)?對數函數的圖象都過點(1, 0), 這是因為當x=1時, y=log_a1=0.?

(3) 當?a>1時,?y=log_ax是定義域上的增函數. 并且當01時, y>0.

(4) 當?0ax是定義域上的減函數. 并且當00;?當x>1時, y<0.

(5)?對數函數的圖象無限靠近y軸.

練習:?

(1). 求函數y=log_a(3+x)(a>0且a≠1)的定義域.??

(2). 比較log₃3.8與log₃7的大小.

指數函數與對數函數的關系. 我們知道在函數的定義中,?對于自變量x的每一個取值, 根據對應法則都有唯一一個y值和它對應.?反過來, 每一個y值可能對應自變量x的多個取值. 比如二次函數y=x²,?y=4對應x=2和-2. 因此y到x的對應不是函數.

但是對于指數函數y=a^x(a>0且a≠1), 每一個y值也都唯一對應一個x值,?也就是從y到x的對應也是一個函數, 這個函數就是對數函數x=log_ay(a>0且a≠1) 它叫做指數函數y=a^x的反函數.?函數x=log_ay(a>0且a≠1)的定義域是(0, +∞),?值域是R, 函數y=a^x的定義域是R,值域是(0, +∞).

一般地, 設函數

的定義域是集合A, 值域是集合B. 并且對B中任意一個y值, 都有A中唯一一個x值和它對應, 即有唯一的x滿足

那么稱這個函數是A到B的一一對應.?此時由y到x的對應也是一個函數, 記作

它叫做原函數的反函數, 定義域是B, 值域是A.

對數函數x=log_ay是指數函數y=a^x的反函數,?指數函數y=a^x也是對數函數x=log_ay的反函數,?因此對數函數和指數函數互為反函數.?

使用函數習慣的表示方法, 將反函數x=log_ay寫成形式y=log_ax. 注意y=log_ax的定義域是y=a^x的值域, y=log_ax的值域是y=a^x的定義域. 設(u, v)是y=a^x圖象上的任意一點,?那么(v, u)就是y=log_ax圖象上的點. 這兩個點關于直線y=x對稱, 并且可以證明這兩個函數圖象關于直線y=x對稱.?

冪函數.?一般地, 稱函數

叫做冪函數(power function), 其中x是自變量,?a是常數.?冪函數的定義域與a的取值有關.

冪函數的圖象和性質. a=1時的冪函數就是一次函數y=x. a=2時的冪函數就是二次函數y=x². 常數a取不同的值, 會得到不同圖象和性質的冪函數.?

?例:??分別取a=3, 2,?1/2,?-1, 畫出冪函數y=x³、y=x²、y=x^1/2和y=x^-1圖象, 見下圖.?

y=x²是偶函數, 定義域是R, 值域是[0,?+∞),?圖象關于y軸對稱. y=x³是奇函數, 定義域是R, 值域也是R,?圖象關于原點對稱.

y=x^1/2的定義域是[0,?+∞),?值域也是[0,?+∞), 在區間[0,?+∞)上是增函數.?y=x^-1的定義域是(－∞,?0)U(0,?+∞), 不包含0. 值域是(－∞,?0)U(0,?+∞), 也不包含0.

通過觀察上面的圖象, 我們發現這四個函數的圖象差別較大, 定義域、值域、單調性和奇偶性各有不同, 因此只能歸納出冪函數y=x^a(a∈R)最基本的性質:

(1) 冪函數y=x^a(a∈R)的圖象都經過點(1, 1), 這是因為當x=1時, y=1^a=1.

(1)?當?a>0時, 冪函數的圖象經過原點, 在區間[0,?+∞)上是增函數.?

(3)??當 a<0時, 冪函數在區間(0,?+∞)上是減函數, 且在第一象限內無限逼近x軸和y軸.

練習:

(1). 比較2^1.5與3^1.5的大小.? ?

(2).?討論函數?y=x^2/3的定義域、奇偶性，并作出它的圖象.

最后, 請熟記這三個基本初等函數: 指數函數、對數函數和冪函數的解析式、文中所畫圖象的形狀和性質.

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高中數學知識講解系列

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集合論知識初步

一次函數和二次函數(修改版)

初等數列知識

總結

以上是生活随笔為你收集整理的指数函数中x的取值范围_基本初等函数I: 指数函数、对数函数和幂函数的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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