乘積尾0的個數

公因數和公倍數的基本概念

公因數的釋義

給定若干個整數，如果有一個(些)數是它們共同的因數，那么這個(些)數就叫做它們的公因數。而全部公因數中最大的那個，稱為這些整數的最大公因數。

公約數與公倍數相反，就是既是A的約數同時也是B的約數的數，12和15的公約數有1，3，最大公約數就是3。再舉個例子，30和40，它們的公約數有1，2，5，10，最大公約數是10。

公因數，又稱公約數。在數論的敘述中，如果n和d都是整數，而且存在某個整數c，使得n?=?cd，就說d是n的一個因數，或說n是d的一個倍數，記作d|n(讀作d整除n)。如果d|a且d|b，我們就稱d是a和b的一個公因數。根據裴蜀定理，對每一對整數a，b，都有一個公因數d，使得d?=?ax+by，其中x和y是某些整數，并且a和b的每一個公因數都能整除這個d。于是d的絕對值叫做最大公因數。

求幾個整數的最大公因數，只要把它們的所有共有的質因數連乘，所得的積就是它們的最大公因數。

最大公因數

定義

如果數a能被數b整除，a就叫做b的倍數，b就叫做a的約數。約數和倍數都表示一個整數與另一個整數的關系，不能單獨存在。如只能說16是某數的倍數，2是某數的約數，而不能孤立地說16是倍數，2是約數。

"倍"與"倍數"是不同的兩個概念，"倍"是指兩個數相除的商，它可以是整數、小數或者分數。"倍數"只是在數的整除的范圍內，相對于"約數"而言的一個數字的概念，表示的是能被某一個自然數整除的數。

幾個整數，公有的約數，叫做這幾個數的公約數；其中最大的一個，叫做這幾個數的最大公約數。例如：12、16的公約數有1、2、4，其中最大的一個是4，4是12與16的最大公約數，一般記為(12，16)=4。12、15、18的最大公約數是3，記為(12，15，18)=3。

幾個自然數公有的倍數，叫做這幾個數的公倍數，其中最小的一個自然數，叫做這幾個數的最小公倍數。例如：4的倍數有4、8、12、16，……，6的倍數有6、12、18、24，……，4和6的公倍數有12、24，……，其中最小的是12，一般記為[4，6]=12。12、15、18的最小公倍數是180。記為[12，15，18]=180。若干個互質數的最小公倍數為它們的乘積的絕對值。

求法

質因數分解法

把幾個數先分別分解質因數，再把各數中的全部公有的質因數和獨有的質因數提取出來連乘，所得的積就是這幾個數的最小公倍數。

例如：求6和15的最小公倍數。先分解質因數，得6=2×3，15=3×5，6和15的全部公有的質因數是3，6獨有質因數是2，15獨有的質因數是5，2×3×5=30，30里面包含6的全部質因數2和3，還包含了15的全部質因數3和5，且30是6和15的公倍數中最小的一個，所以[6，15]=30。

短除法

短除法：短除法求最大公約數，先用這幾個數的公約數連續去除，一直除到所有的商互質為止，然后把所有的除數連乘起來，所得的積就是這幾個數的最大公約數。短除法的本質就是質因數分解法，只是將質因數分解用短除符號來進行。

短除符號就是除號倒過來。短除就是在除法中寫除數的地方寫兩個數共有的質因數，然后落下兩個數被公有質因數整除的商，之后再除，以此類推，直到結果互質為止(兩個數互質)。

而在用短除計算多個數時，對其中任意兩個數存在的因數都要算出，其它沒有這個因數的數則原樣落下。直到剩下每兩個都是互質關系。求最大公因數便乘一邊，求最小公倍數便乘一圈。無論是短除法，還是分解質因數法，在質因數較大時，都會覺得困難。這時就需要用新的方法。

公倍數簡介

公倍數(common multiple)是指在兩個或兩個以上的自然數中，如果它們有相同的倍數，這些倍數就是它們的公倍數。公倍數中最小的，就稱為這些整數的最小公倍數(lowest common multiple)?。

舉例

A和B A/B=C　如果A能被B整除，則A為B和C的公倍數　兩個數A和B，它們的公倍數就是既是A的倍數又是B的倍數的數，即能同時被A、B整除的數 　比如說：12和15，它們的公倍數是60，120，180，等等 　在這些公倍數中最小的那一個就叫最小公倍數，就是60。

最小公倍數

分解質因數法

首先把兩個數的質因數寫出來，最小公倍數等于這兩個數全部共有的質因數的代表與各自獨有的質因數的乘積。

比如求45和30的最小公倍數。

45=3×3×5

30=2×3×5

30與45共有的質因數是1個3和1個5,而30和45獨有的質因數分別是 3和2。即，

最小公倍數等于2×3×3×5=90

又如計算36和270的最小公倍數

36=2×2×3×3

270=2×3×3×3×5

36與270都有的質因數是1個2和2個3，而36獨有質因數2，270獨有質因數3和5。

最小公倍數等于2×2×3×3×3×5=540

倍數關系

如果較大數是較小數的倍數，較大數就是它們的最小公倍數。

題目

有一些磚,長寬高分別是15、12、6,請問怎樣擺,才能夠擺成一個最小的正方體.

解：設15、12、6的最小公倍數是60,所以最小的正方體棱長為60.

60÷15=4

60÷12=5

60÷6=10

答： 長：4塊，寬：5塊，高：10塊，才能擺成一個最小的正方體。

注意事項

小數是不存在最大公因數和最小公倍數的，最大公因數(最大公約數)和最小公倍數只存在于自然數中。

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總結

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