平面几何相关定理
導(dǎo)言
初中的平面幾何相關(guān)定理，在高中數(shù)學(xué)中使用的頻度還是比較高的。所以別以為三選一變成了二選一，就不需要復(fù)習(xí)回顧平面幾何相關(guān)定理了，相反如果熟悉這些內(nèi)容，反倒是對(duì)你非常有裨益的。
一、平面幾何五大定理
公設(shè)1：任意一點(diǎn)到另外任意一點(diǎn)可以畫直線。
公設(shè)2：一條有限線段可以繼續(xù)延長(zhǎng)。
公設(shè)3：以任意點(diǎn)為心及任意的距離可以畫圓。
公設(shè)4：凡直角都彼此相等。
公設(shè)5：同平面內(nèi)一條直線和另外兩條直線相交，若在某一側(cè)的兩個(gè)內(nèi)角和小于二直角的和，則這二直線經(jīng)無(wú)限延長(zhǎng)后在這一側(cè)相交。
二、相關(guān)定理
- 1、角平分線性質(zhì)定理
①.角平分線可以得到兩個(gè)相等的角。
②.角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等。
③.三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)，稱作三角形內(nèi)心。三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等。
④.三角形一個(gè)角的平分線，這個(gè)角平分線其對(duì)邊所成的兩條線段與這個(gè)角的兩鄰邊對(duì)應(yīng)成比例。
- 2、相似三角形定義與性質(zhì)，
相似三角形：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形。（similar triangles）。互為相似形的三角形叫做相似三角形。
相似三角形的判定方法：根據(jù)相似圖形的特征來(lái)判斷。（對(duì)應(yīng)邊成比例，對(duì)應(yīng)角相等）
①.平行于三角形一邊的直線(或兩邊的延長(zhǎng)線)和其他兩邊相交,所構(gòu)成的三角形與原三角形相似；
（這是相似三角形判定的引理，是以下判定方法證明的基礎(chǔ)。這個(gè)引理的證明方法需要平行線分線段成比例的證明）
②.如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等,那么這兩個(gè)三角形相似；
③.如果兩個(gè)三角形的兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等,并且相應(yīng)的夾角相等,那么這兩個(gè)三角形相似；
④.如果兩個(gè)三角形的三組對(duì)應(yīng)邊的比相等,那么這兩個(gè)三角形相似；
- 絕對(duì)相似三角形
1.兩個(gè)全等的三角形一定相似。
2.兩個(gè)等腰直角三角形一定相似。
3.兩個(gè)等邊三角形一定相似。
- 直角三角形相似判定定理
1.斜邊與一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例的兩直角三角形相似。
2.直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形與原直角三角形相似，并且分成的兩個(gè)直角三角形也相似。
三角形相似的判定定理的推論
推論一：頂角或底角相等的那個(gè)的兩個(gè)等腰三角形相似。
推論二：腰和底對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)等腰三角形相似。
推論三：有一個(gè)銳角相等的兩個(gè)直角三角形相似。
推論四：直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形和原三角形都相似。
推論五：如果一個(gè)三角形的兩邊和其中一邊上的中線與另一個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)部分成比例，那么這兩個(gè)三角形相似。
推論六：如果一個(gè)三角形的兩邊和第三邊上的中線與另一個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)部分成比例，那么這兩個(gè)三角形相似。
相似三角形的性質(zhì)
1.相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段(對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比。
2.相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比。
3.相似三角形面積的比等于相似比的平方。
相似三角形的特例
能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形。（congruent triangles）
全等三角形是相似三角形的特例。全等三角形的特征：形狀完全相同，相似比是k=1。
全等三角形一定是相似三角形，而相似三角形不一定是全等三角形。
因此，相似三角形包括全等三角形。
- 3、平行截割定理
等分線段定理：如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等,那么在任一條(與這組平行相交的)直線上截得的線段也相等.
平行截割定理【線束定理】：兩條直線與一組平行線相交,它們被這組平行線截得的對(duì)應(yīng)線段成比例.
定理推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊，截得的三角形與原三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例.
- 4、直角三角形射影定理
直角三角形射影定理，又稱“歐幾里德定理”，
直角三角形中，斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項(xiàng)，每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項(xiàng)。
- 5、圓周角定理
圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)弧上的圓心角度數(shù)的一半。
定理推論:
①.一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半;
②.圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)的弧度數(shù)的一半;
③.在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等;相等的圓周角所對(duì)的弧也相等。
④.半圓(直徑)所對(duì)的圓周角是直角。
⑤.90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑。
⑥.等弧對(duì)相等的圓周角。(因?yàn)橄嗟鹊幕≈挥幸粋€(gè)圓心角)
注意：在圓中，同一條弦所對(duì)的圓周角有無(wú)數(shù)個(gè)。
- 6、圓的切線判定定理和性質(zhì)定理
判定定理：過(guò)半徑外端且與這條半徑垂直的直線是圓的切線。
性質(zhì)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑。
- 7、相交弦定理
圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的積相等。（經(jīng)過(guò)圓內(nèi)一點(diǎn)引兩條弦，各弦被這點(diǎn)所分成的兩段的積相等）
- 8、圓內(nèi)接四邊形的判定定理與性質(zhì)定理
判定定理：
如果一個(gè)四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓；
判定定理的推論：
如果四邊形的一個(gè)外角等于它的內(nèi)角的對(duì)角，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓；
性質(zhì)定理：
①圓內(nèi)接四邊形內(nèi)角互補(bǔ)；
②圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)角的對(duì)角。
- 9、切割線定理
切割線定理是指從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng)。也是圓冪定理之一。一般用于求直線段長(zhǎng)度。
切割線定理推論:
從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的積相等。
- 10、三角形外角定理
外角定理:三角形的一個(gè)外角等于不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和。
三角形內(nèi)角和定理:三角形的三個(gè)內(nèi)角和為180度。
多邊形的外角和定理:多邊形的外角和都等于360度。
拓展:在三角形中，已知其中兩個(gè)角的度數(shù)，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，則能求出第三個(gè)角的度數(shù)。
三角形的外角平分線定理:三角形的外角平分線外分對(duì)邊所成的兩條線段和相鄰兩邊對(duì)應(yīng)成比例。
二、相關(guān)證明
- 【內(nèi)角平分線定理，別稱：內(nèi)分比，斯霍騰定理。】三角形一個(gè)角的平分線與其對(duì)邊所成的兩條線段與這個(gè)角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例。
已知：如圖所示，\(AD\)是\(\Delta ABC\)的內(nèi)角\(A\)的角平分線，交\(BC\)于點(diǎn)\(D\)。
求證：\(\cfrac{AB}{AC}=\cfrac{BD}{DC}\)
證明：過(guò)點(diǎn)\(C\)作直線\(CE//AB\)，并且交\(AD\)的延長(zhǎng)線于點(diǎn)\(E\)，
則可知\(\Delta ADB\sim \Delta EDC\)，且有\(\cfrac{AB}{EC}=\cfrac{BD}{CD}①\)；
又由\(AB//CE\)可知，\(\angle 1=\angle 3\)，
又已知\(\angle 1=\angle 2\)，故\(\angle 2=\angle 3\)，
即\(CE=AC\)，代入①式可得\(\cfrac{AB}{AC}=\cfrac{BD}{DC}\)。
三、典例剖析
轉(zhuǎn)載于:https://www.cnblogs.com/wanghai0666/p/10360820.html
總結(jié)
- 上一篇： 1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置
- 下一篇： 判断平面内两直线平行c语言,总结平行线的