導言

初中的平面幾何相關定理，在高中數學中使用的頻度還是比較高的。所以別以為三選一變成了二選一，就不需要復習回顧平面幾何相關定理了，相反如果熟悉這些內容，反倒是對你非常有裨益的。

一、平面幾何五大定理

• 公設1：任意一點到另外任意一點可以畫直線。

• 公設2：一條有限線段可以繼續延長。

• 公設3：以任意點為心及任意的距離可以畫圓。

• 公設4：凡直角都彼此相等。

• 公設5：同平面內一條直線和另外兩條直線相交，若在某一側的兩個內角和小于二直角的和，則這二直線經無限延長后在這一側相交。

二、相關定理

• 1、角平分線性質定理

①.角平分線可以得到兩個相等的角。

②.角平分線上的點到角兩邊的距離相等。

③.三角形的三條角平分線交于一點，稱作三角形內心。三角形的內心到三角形三邊的距離相等。

④.三角形一個角的平分線，這個角平分線其對邊所成的兩條線段與這個角的兩鄰邊對應成比例。

• 2、相似三角形定義與性質，

相似三角形：對應角相等，對應邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形。（similar triangles）。互為相似形的三角形叫做相似三角形。

相似三角形的判定方法：根據相似圖形的特征來判斷。（對應邊成比例，對應角相等）

①.平行于三角形一邊的直線(或兩邊的延長線)和其他兩邊相交,所構成的三角形與原三角形相似；

（這是相似三角形判定的引理，是以下判定方法證明的基礎。這個引理的證明方法需要平行線分線段成比例的證明）

②.如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應相等,那么這兩個三角形相似；

③.如果兩個三角形的兩組對應邊的比相等,并且相應的夾角相等,那么這兩個三角形相似；

④.如果兩個三角形的三組對應邊的比相等,那么這兩個三角形相似；

• 絕對相似三角形

1.兩個全等的三角形一定相似。

2.兩個等腰直角三角形一定相似。

3.兩個等邊三角形一定相似。

• 直角三角形相似判定定理

1.斜邊與一條直角邊對應成比例的兩直角三角形相似。

2.直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形與原直角三角形相似，并且分成的兩個直角三角形也相似。

三角形相似的判定定理的推論

推論一：頂角或底角相等的那個的兩個等腰三角形相似。

推論二：腰和底對應成比例的兩個等腰三角形相似。

推論三：有一個銳角相等的兩個直角三角形相似。

推論四：直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形和原三角形都相似。

推論五：如果一個三角形的兩邊和其中一邊上的中線與另一個三角形的對應部分成比例，那么這兩個三角形相似。

推論六：如果一個三角形的兩邊和第三邊上的中線與另一個三角形的對應部分成比例，那么這兩個三角形相似。

相似三角形的性質
1.相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比。

2.相似三角形周長的比等于相似比。

3.相似三角形面積的比等于相似比的平方。

相似三角形的特例

能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形。（congruent triangles）

全等三角形是相似三角形的特例。全等三角形的特征：形狀完全相同，相似比是k=1。

全等三角形一定是相似三角形，而相似三角形不一定是全等三角形。

因此，相似三角形包括全等三角形。

• 3、平行截割定理

等分線段定理：如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等,那么在任一條(與這組平行相交的)直線上截得的線段也相等.

平行截割定理【線束定理】：兩條直線與一組平行線相交,它們被這組平行線截得的對應線段成比例.

定理推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊，截得的三角形與原三角形的對應邊成比例.

• 4、直角三角形射影定理

直角三角形射影定理，又稱“歐幾里德定理”，

直角三角形中，斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項，每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項。

• 5、圓周角定理

圓周角的度數等于它所對弧上的圓心角度數的一半。

定理推論:
①.一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半;

②.圓周角的度數等于它所對的弧度數的一半;

③.在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等;相等的圓周角所對的弧也相等。

④.半圓(直徑)所對的圓周角是直角。

⑤.90°的圓周角所對的弦是直徑。

⑥.等弧對相等的圓周角。(因為相等的弧只有一個圓心角)

注意：在圓中，同一條弦所對的圓周角有無數個。

• 6、圓的切線判定定理和性質定理

判定定理：過半徑外端且與這條半徑垂直的直線是圓的切線。

性質定理：圓的切線垂直于經過切點的半徑。

• 7、相交弦定理

圓內的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等。（經過圓內一點引兩條弦，各弦被這點所分成的兩段的積相等）

• 8、圓內接四邊形的判定定理與性質定理

判定定理：

如果一個四邊形的對角互補，那么這個四邊形的四個頂點共圓；

判定定理的推論：

如果四邊形的一個外角等于它的內角的對角，那么這個四邊形的四個頂點共圓；

性質定理：

①圓內接四邊形內角互補；

②圓內接四邊形的外角等于它的內角的對角。

• 9、切割線定理

切割線定理是指從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項。也是圓冪定理之一。一般用于求直線段長度。

切割線定理推論:

從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等。

• 10、三角形外角定理

外角定理:三角形的一個外角等于不相鄰的兩個內角和。

三角形內角和定理:三角形的三個內角和為180度。

多邊形的外角和定理:多邊形的外角和都等于360度。

拓展:在三角形中，已知其中兩個角的度數，根據三角形內角和定理，則能求出第三個角的度數。

三角形的外角平分線定理:三角形的外角平分線外分對邊所成的兩條線段和相鄰兩邊對應成比例。

二、相關證明

• 【內角平分線定理，別稱：內分比，斯霍騰定理。】三角形一個角的平分線與其對邊所成的兩條線段與這個角的兩邊對應成比例。

已知：如圖所示，\(AD\)是\(\Delta ABC\)的內角\(A\)的角平分線，交\(BC\)于點\(D\)。

求證：\(\cfrac{AB}{AC}=\cfrac{BD}{DC}\)

證明：過點\(C\)作直線\(CE//AB\)，并且交\(AD\)的延長線于點\(E\)，

則可知\(\Delta ADB\sim \Delta EDC\)，且有\(\cfrac{AB}{EC}=\cfrac{BD}{CD}①\)；

又由\(AB//CE\)可知，\(\angle 1=\angle 3\)，

又已知\(\angle 1=\angle 2\)，故\(\angle 2=\angle 3\)，

即\(CE=AC\)，代入①式可得\(\cfrac{AB}{AC}=\cfrac{BD}{DC}\)。

三、典例剖析

轉載于:https://www.cnblogs.com/wanghai0666/p/10360820.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的平面几何相关定理的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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