寫在前面：

本文適合初三學生；

本文所講的方法，可供平時的學習開拓思維，考試時也許可以幫你得分，但請慎用！

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2019.6.2 更新了一道例題&知識補充

2019.6.3 修正部分錯誤

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一、什么是解析幾何？

平面幾何是初中數學學習的核心內容之一，也是最大的學習難點之一，尤其是面對圓或平行四邊形的壓軸題時，不少優等生也會望而卻步，因為采用傳統平面幾何解題的思維難度太大了。在歷史上，就連數學家們的想法也是類似的：

傳統的數學工具對某些運動問題已經無能為力，這就迫切地需要一種新的數學工具，從而導致了變量數學即近代數學的誕生. 變量數學的第一個標志就是解析幾何的發明，解析幾何學的誕生改變了整個數學的面貌，是數學發展史上重要的里程碑。（出自人教版高中數學《選修3-1：數學史選講》）

于是，聰明的數學家們想出了一種新的研究幾何問題的方法——解析幾何。

解析是利用解析式來研究幾何對象之間的關系和性質的一門幾何學分支，亦叫坐標幾何。（百度百科）

解析幾何的這一段定義、甚至是這個名字本身聽起來就很高大上。但其實，我們已經接觸過解析幾何中最關鍵的一部分了——解析式。一次函數、二次函數的解析式，這是大家再熟悉不過的。

有了解析式，我們就可以把平面幾何問題，轉化為求解方程的問題了。例如，求平面上兩條直線的交點，我們可以聯立兩條直線的解析式得到方程組進而解出交點。

說了這么多，還沒有一點實際的，那就放一個例子：

例1 （2019·某高中月考題改編，有刪節）如圖，在

中， ， ， ， . 求 的長.

這道題思路其實不難，但是計算量并不小。用傳統的平面幾何方法要寫這么多：

解：如圖，作 交 于點 .
∵在 中，
∴
∵
∴
∵
∴
∴
那么 ， .
∴
由勾股定理， .

好，做完題目了，我們來反思一下有沒有可以改進的地方。

這道題目的核心，其實就是利用勾股定理計算線段長度。進一步說，最為關鍵的，就是要找到

點與 點水平距離以及豎直距離。

數學敏感的同學已經發現了：放在平面直角坐標系里，兩個點的橫坐標之差就是它們水平方向上的距離，縱坐標之差就是它們豎直方向上的距離。

可是題目里沒有直角坐標系啊？

沒關系，我們自己建系！

如圖，以

為原點建立平面直角坐標系 .

根據題目的條件，我們很容易觀察出圖中幾個點的坐標：

（想一想，C點的坐標是怎么求出來的？想不到的話，可以看評論區）

有些老師可能已經教過平面直角坐標系里兩點之間距離的公式了，但如果沒有，也別擔心：

設 是平面直角坐標系中的任意兩點，那么 之間的距離（常記作 ）為 .

這個公式不難推導，請你嘗試用勾股定理完成對它的證明。

由于

兩點坐標已知，直接套用公式，就可以求出 了，答案和常規方法完全一樣。

看到這里，你可能還沒覺得解析幾何（通俗了說就是建系法）有多好用。沒關系，精彩在后面呢。

二、解析幾何中必備的一些基礎知識

兩點間距離公式（上文已經給出，此處略去）。

平面中直線的表示：

我們已經知道，任意一次函數的解析式 都能代表直線。但有兩種直線是不能這樣表示的：平行于 軸和平行于 軸的直線。因此，我們用 來表示任意一條平行于 軸的直線，這條直線上任意一點的縱坐標都為 ；用 來表示任意一條平行于 軸的直線，這條直線上任意一點的橫坐標都為 。
這樣，平面中任意一條直線的方程都可以用一個方程表示出來，我們把這些表示直線的方程稱為直線方程。

3. 斜率：

對任意一條直線 ，其斜率即為 ，表示直線的傾斜程度。 的絕對值越大，直線越陡峭。特別地，對于 型的直線方程，我們稱其斜率不存在。

4. 兩條直線平行或垂直的判定：

已知直線 和 則：當且僅當 時，兩條直線平行； 時，兩條直線垂直。（很重要！）

※5. 圓的方程

重點來了。圓的標準方程 中，有三個參數 ，即圓心坐標為 ，半徑為 ；只要求出 ，這時圓的方程就被確定，因此確定圓方程，須三個獨立條件，其中圓心坐標是圓的定位條件，半徑是圓的定形條件。理解：直線方程是 ，代表一條直線，這條直線上的任意一點 都滿足這個方程；圓的標準方程是 ，代表圓上的任意一點 也都滿足這個方程。
推導過程：根據圓的定義：圓上任意一點到圓心的距離等于半徑以及兩點間距離公式得出。

6. 求任意直線與直線、圓與直線、圓與圓的交點

有了上面的知識儲備，這就很簡單了。我們只要把兩個代表直線或曲線的方程聯立，解出所得到的二元方程組，就能求出交點坐標了。

7. 三角函數進階

上文中提到了斜率 ，那么這個東西有什么實際用途呢？
有的！除了平行于 軸的直線，任意一條直線都一定會與 軸有且只有一個交點。并且，這條直線與 軸正半軸的夾角（稱之為傾斜角）的正切值，就是這條直線的斜率。
例如，直線 的斜率是 ，那么這條直線與 軸的夾角就是 .
可是問題來了，如果一條直線的傾斜角是鈍角，斜率，也就是鈍角的正切值如何計算呢？
這就需要一些三角函數的進階知識——
· 初中學習了銳角三角函數，但其實，對于任意的角，無論是正是負，都有它的三角函數值，這個值可正可負；
· 對于任意的的角 來說，我們有公式（高中稱誘導公式）：——利用這些公式，可以把非銳角轉化為銳角從而計算三角函數值。
· 同角三角函數有以下兩個關系： （ 表示角 的正弦值的平方）
（對于任意一個角，已知其正弦或余弦或正切，都可以用這些關系算出另外兩個三角函數值，即“知一得二”）
· 三角函數的和角公式（差角公式只要把正號變成負號，負號變成正號）：

三、實戰講解

看到這里，你可能還覺得上面的知識點看起來云里霧里。沒關系，用一道中考壓軸題來為你撥開迷障（是的，建系法可以秒壓軸題！）：

例2 （2018·廣東中考·24）如圖，四邊形

中， ，以 為直徑的經過點 ，連接 、 交于點 .

（1）證明：

；

（2）若

，證明： 與相切；

（3）在（2）條件下，連接

交于點 ，連接 ，若 ，求 的長.

第（1）（2）問難度不大，只講第（3）問.

這題的標準解法是做輔助線構造相似三角形，但我們完全可以用上面講的建系方法來做。

建系時，可以把任何點作為坐標原點，但原點所在的直線最好有較多直線與之平行、垂直，以方便求出其他點的坐標。

在這道題中，以

點為原點顯然是一個很好的選擇，因為 與 垂直，與 平行，且已知 是 的中點，可以快速求出點 的坐標。

建系之后得到這樣一個圖：

原創圖片講解

這道題如果用平面幾何方法做，至少要幾十分鐘；建系的話，五分鐘之內就可以搞定。

就是這么簡單粗暴。

2019.6.2更新 感謝 @用手指戳他鼻孔 提供的題目~

例3 （2015·湖北荊門）已知，如圖，

是 的直徑，點 為 上一點， 于點 ，交 于點 ， 與 交于點 ，點 為 的延長線上一點，且 .

（1）求證：

是 的切線；

（2）求證：

；

（3）若

的半徑為 ， ，求 的長.

第（1）（2）問比較簡單，適合用平幾方法做，這里講如何用建系法解第（3）問。

很顯然，我們以

點為原點建立平面直角坐標系是最方便的：

連接

，易知

而

的正弦值已知，結合同角三角函數的關系與和角公式，

，

,

.

而

就是直線 的斜率，又由于 過原點，故 的直線方程為： .

因為

，所以兩直線斜率之積為-1，又易知 ，可求出 .

聯立

與圓 的方程 ，解得交點坐標 ；

又因為

點坐標為 ，所以 .

聯立

與 的方程，解得交點坐標為 .

所以

.

總結

以上是生活随笔為你收集整理的平面直角坐标系中的旋转公式_【初中数学大招流】从平面几何到解析几何的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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