垂直問題的轉化關系示意圖

graph LR A((線線垂直))--判定=> <=性質-->B{線面垂直} B--判定=><=性質-->C((面面垂直)) C--判定=><=性質-->A

\[線\perp線 \xlongequal[\Leftarrow 性質定理]{判定定理\Rightarrow}線\perp面\xlongequal[\Leftarrow 性質定理]{判定定理\Rightarrow}面\perp 面\]

\[線\perp 線\xlongequal[\Leftarrow 性質定理]{判定定理\Rightarrow}面\perp 面\]

前言

常識儲備

識記如圖所示的是正方體\(ABCD-A'B'C'D'\)，有如下的常用結論：

(1)體對角線\(B'D\perp\)平面\(ACD'\)(如圖1)

證明：令體對角線\(B'D\)和平面\(ACD'\)的交點是\(N\)，由正四面體\(B'-ACD'\)可知，

\(N\)是三角形底面的中心，連接\(OD'\)，則易知\(AC\perp BD\)，\(AC\perp BB'\)，故\(AC\perp B'D\)，

同理\(AD'\perp B'D\)，故體對角線\(B'D\perp\)平面\(ACD'\)。

(2)\(DN=\cfrac{1}{3}B'D\)(如圖1，利用等體積法)

(3)平面\(ACD'//A'BC'\)(如圖2)

(4)平面\(ACD'\)與平面\(A'BC'\)的間距是\(\cfrac{1}{3}B'D\)，即體對角線的\(\cfrac{1}{3}\)(如圖2)

(5)三棱錐\(B'-ACD'\)是正四面體。三棱錐\(D-ACD'\)是正三棱錐。

(6)如果需要將正四面體或者墻角型的正三棱錐恢復還原為正方體，我們可以先畫出正方體，然后在里面找出需要的正四面體或者墻角型正三棱錐。

(7)圓內接正方形的中心就是圓心，正方形的對角線的長度就是圓的直徑；球內接正方體的中心就是球心，正方體的體對角線的長度就是球的直徑。

(8)正方形的棱長設為\(2a\)，則正方形的內切圓半徑為\(a\)，正方形的外接圓半徑為\(\sqrt{2}a\)，三者的關系之比為\(2:1:\sqrt{2}\)；

正方體的棱長設為\(2a\)，則正方體的內切球半徑為\(a\)，正方體的外接球半徑為\(\sqrt{3}a\)，三者的關系之比為\(2:1:\sqrt{3}\)；

(9)正三角形的棱長設為\(2a\)，則正三角形的內切圓半徑為\(\cfrac{\sqrt{3}}{3}a\)，正三角形的外接圓半徑為\(\cfrac{2\sqrt{3}}{3}a\)，三者的關系之比為\(2\sqrt{3}:1:2\)；

正四面體的棱長設為\(2a\)，則正四面體的內切球半徑為\(\cfrac{\sqrt{6 }}{6}a\)，正四面體的外接球半徑為\(\cfrac{\sqrt{6 }}{2}a\)，三者的關系之比為\(2\sqrt{6}:1:3\)；

判定難點

• 主從關系的轉換，比如證明\(A_1F\perp DE\)不容易時，我們轉而證明\(DE\perp A_1F\)可能很容易。山重水復疑無路，柳暗花明又一村。

• 區分清楚判定定理和性質定理。

• 垂直關系的相互轉化

典例剖析

• 線線垂直

例10【2019屆高三理科數學三輪模擬試題】在正方體\(ABCD-A_1B_1C_1D_1\)中，點\(O\)是四邊形\(ABCD\)的中心，關于直線\(A_1O\)，下列說法正確的是【】

$A.A_1O//D_1C$ $B.A_1O\perp BC$ $C.A_1O//平面B_1CD_1$ $D.A_1O\perp平面AB_1D_1$

分析：由于題目中給定點\(O\)是下底面的中心，故我們想到也做出上底面的中心\(E\)，如圖所示，

當連結\(CE\)時，我們就很容易看出\(A_1O//CE\)，以下做以說明；

由于\(OC//A_1E\)，且\(OC=A_1E\)，則可知\(A_1O//CE\)，

又由于\(A_1O\not \subset 面B_1CD_1\)，\(CE \subset 面B_1CD_1\)，故\(A_1O//平面B_1CD_1\) ，故選\(C\)，

此時，我們也能輕松的排除\(A\)，\(B\)，\(D\)三個選項是錯誤的。

• 線面垂直

例3【2017鳳翔中學第二次月考理科第19題】如圖，\(\Delta ABC\)和\(\Delta BCD\)所在平面互相垂直，且\(AB=\)\(BC=BD\)\(=2\)，\(\angle ABC=\angle DBC=120^{\circ}\)，\(E、F、G\)分別是\(AC、DC、AD\)的中點，

(1)求證：\(EF\perp 平面BCG\)

分析提示：只要證明\(AD\perp 平面BCG\)

(2)求三棱錐\(D-BCG\)的體積。

分析：在平面\(ABC\)內，作\(AO\perp BC\)，交\(CB\)延長線于\(O\)，由平面\(ABC\perp BCD\)，可知\(AO\perp 平面BDC\)，

由\(G\)到平面\(BCD\)距離\(h\)是\(AO\)長度的一半，在\(\Delta AOB\)中，\(AO=AB\cdot sin60^{\circ}=\sqrt{3}\)，

故\(V_{D-BCG}=V_{G-BCD}=\cfrac{1}{3}S_{\Delta DBC}\cdot h\)\(=\cfrac{1}{3}\cdot \cfrac{1}{2}\cdot BD\cdot BC\)\(\cdot sin120^{\circ}\cdot \cfrac{\sqrt{3}}{2}\)\(=\cfrac{1}{2}\)。

• 面面垂直

例1【2016江蘇高考卷】如圖，在直三棱柱\(ABC-A_1B_1C_1\)中，\(D\)、\(E\)分別是\(AB\)、\(BC\)的中點，點\(F\)在側棱\(BB_1\)上，且\(B_1D\perp A_1F\)，\(A_1C_1\perp A_1B_1\)。

求證：(1)直線\(DE//\)平面\(A_1C_1F\).

分析：現在需要\(\Leftarrow\)直線\(DE//\)平面\(A_1C_1F\)

\(\Leftarrow\)直線\(DE//\)平面\(A_1C_1F\)內的某直線\(?\)

某條直線可能是三角形的邊界線，三角形中線，高線，中位線，或者需要我們做出的某條輔助直線。

證明：因為\(D\)、\(E\)分別是\(AB\)、\(BC\)的中點，則有\(DE//AC//A_1C_1\)，

又因為直線\(A_1C_1\subsetneqq\)平面\(A_1C_1F\)，

\(DE\not\subseteq\)平面\(A_1C_1F\)，則直線\(DE//\)平面\(A_1C_1F\)。

求證(2)平面\(B_1DE\perp\)平面\(A_1C_1F\).

分析：\(\Leftarrow\)平面\(B_1DE\perp\)平面\(A_1C_1F\)

\(\Leftarrow\)一個面內的某條直線\(\perp\)另一個面內的兩條相交直線。

此時往往需要結合圖形及已知條件來確定，比如將一個面內的某條直線暫時確定為直線\(A_1F\)，

那么此時就需要在另一個平面\(B_1DE\)內找兩條相交直線，且都要能證明和直線\(A_1F\)，

如果能找到，則這樣的思路就基本固定下來了，

思路一大致為：\(A_1F\perp\begin{cases}B_1D\\ DE\end{cases}\)，

從而轉證\(DE\perp A_1F\)，從而轉證\(A_1C_1\perp A_1F\)，

從而轉證\(A_1C_1\perp\)包含\(A_1F\)的平面\(ABB_1A_1\)，

從而轉證\(A_1C_1\perp\begin{cases}A_1B_1\\ A_1A\end{cases}\)；

思路二大致為：\(B_1D\perp\begin{cases}A_1F\\ A_1C_1\end{cases}\)，

從而轉證\(A_1C_1\perp B_1D\)，

從而轉證\(A_1C_1\perp\)包含\(B_1D_1\)的平面\(ABB_1A_1\)，

從而轉證\(A_1C_1\perp\begin{cases}A_1B_1\\ A_1A\end{cases}\)；

證明：你能自主寫出證明過程嗎？

【反思提升】上述解答中的思路一中，在分析需要證明\(A_1F\perp DE\)時，包含了視角上的轉換，如證明\(A_1F\perp DE\)不容易時，我們轉而證明\(DE\perp A_1F\)，即轉證\(A_1C_1\perp A_1F\)，從而接下來就可以考慮證明線面垂直，從而轉證\(A_1C_1\perp\)包含\(A_1F\)的平面\(ABB_1A_1\)，

例2【2016衡水金卷】如圖，在四棱錐\(P-ABCD\)中，\(AB\perp PA\)，\(AB//CD\)，且\(PB=\)\(BC=BD\)\(=\sqrt{6}\)，\(CD=2AB=2\sqrt{2}\)，\(\angle PAD=120^{\circ}\)，\(E\)和\(F\)分別是棱\(CD\)和\(PC\)的中點。

(1).求證：平面\(BEF\perp\)平面\(PCD\).

證明：因為\(E\)為\(CD\)的中點，\(CD=2AB\)，則\(AB=DE\)，又因為\(AB//CD\)，所以四邊形\(ABED\)為平行四邊形。

又因為\(BC=BD\)，\(E\)為\(CD\)的中點，故\(BE\perp CD\)，則四邊形\(ABED\)為矩形，則\(AB\perp AD\)。

又因為\(AB\perp PA\)，\(PA\cap AD=A\)，所以\(AB\perp 平面PAD\)。

又因為\(AB//CE\)，所以\(CD\perp 平面PAD\)，所以\(CD\perp PD\)。

又因為\(EF//PD\)，所以\(CD\perp EF\)。又因為\(CD\perp BE\)，所以\(CD\perp 平面BEF\)。所以平面\(PCD\perp 平面BEF\)。

(2).求直線\(PD\)與平面\(PBC\)所成角的正弦值。

待補充。

轉載于:https://www.cnblogs.com/wanghai0666/p/11187604.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的直线平面垂直的判定和性质的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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