世界七大數學難題與Hilbert的23個問題

本文參考：1987年版《數學家小辭典》、百度百科、維基百科

世界七大數學難題　
　　這七個“千年大獎問題”是：?
NP完全問題、霍奇猜想、龐加萊猜想、黎曼假設、楊－米爾斯理論、納衛爾－斯托可方程、BSD猜想。

千年大獎問題
　　美國麻州的克雷（Clay）數學研究所于2000年5月24日在巴黎法蘭西學院宣布了一件被媒體炒得火熱的大事：對七個“千年數學難題”的每一個懸賞一百萬美元。 　　

其中有一個已被解決(龐加萊猜想),還剩六個.（龐加萊猜想，已由俄羅斯數學家格里戈里·佩雷爾曼破解。我國中山大學朱熹平教授和旅美數學家、清華大學兼職教授曹懷東做了證明的封頂工作。） 　　

“千年大獎問題”公布以來， 在世界數學界產生了強烈反響。
這些問題都是關于數學基本理論的，但這些問題的解決將對數學理論的發展和應用的深化產生巨大推動。

認識和研究“千年大獎問題”已成為世界數學界的熱點。不少國家的數學家正在組織聯合攻關。 可以預期， “千年大獎問題” 將會改變新世紀數學發展的歷史進程。

一、P問題對NP問題
　　在一個周六的晚上，你參加了一個盛大的晚會。由于感到局促不安，你想知道這一大廳中是否有你已經認識的人。
你的主人向你提議說，你一定認識那位正在甜點盤附近角落的女士羅絲。不費一秒鐘，你就能向那里掃視，并且發現你的主人是正確的。然而，如果沒有這樣的暗示，你就必須環顧整個大廳，一個個地審視每一個人，看是否有你認識的人。

生成問題的一個解通常比驗證一個給定的解時間花費要多得多。這是這種一般現象的一個例子。

與此類似的是，如果某人告訴你，數１３，７１７，４２１可以寫成兩個較小的數的乘積，你可能不知道是否應該相信他，但是如果他告訴你它可以因式分解為３６０７乘上３８０３，那么你就可以用一個袖珍計算器容易驗證這是對的。

人們發現，所有的完全多項式非確定性問題，都可以轉換為一類叫做滿足性問題的邏輯運算問題。
既然這類問題的所有可能答案，都可以在多項式時間內計算，人們于是就猜想，是否這類問題，存在一個確定性算法，可以在多項式時間內，直接算出或是搜尋出正確的答案呢？這就是著名的NP=P？的猜想。

不管我們編寫程序是否靈巧，判定一個答案是可以很快利用內部知識來驗證，還是沒有這樣的提示而需要花費大量時間來求解，被看作邏輯和計算機科學中最突出的問題之一。它是斯蒂文·考克于１９７１年陳述的。
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我覺得，像以上這樣，介紹P與NP問題，比算法導論上的闡述更易于初學者理解。
單憑這點，此文就有意義了。當然，P與NP完全問題，日后，會在本BLOG內具體而深入闡述。
July、二零一一年二月十三日。

二、霍奇(Hodge)猜想
　　二十世紀的數學家們發現了研究復雜對象的形狀的強有力的辦法。基本想法是問在怎樣的程度上，我們可以把給定對象的形狀通過把維數不斷增加的簡單幾何營造塊粘合在一起來形成。這種技巧是變得如此有用，使得它可以用許多不同的方式來推廣；最終導致一些強有力的工具，使數學家在對他們研究中所遇到的形形色色的對象進行分類時取得巨大的進展。

不幸的是，在這一推廣中，程序的幾何出發點變得模糊起來。在某種意義下，必須加上某些沒有任何幾何解釋的部件。

霍奇猜想斷言，對于所謂射影代數簇這種特別完美的空間類型來說，稱作霍奇閉鏈的部件實際上是稱作代數閉鏈的幾何部件的(有理線性)組合。

三、龐加萊(Poincare)猜想
　　如果我們伸縮圍繞一個蘋果表面的橡皮帶，那么我們可以既不扯斷它，也不讓它離開表面，使它慢慢移動收縮為一個點。另一方面，如果我們想象同樣的橡皮帶以適當的方向被伸縮在一個輪胎面上，那么不扯斷橡皮帶或者輪胎面，是沒有辦法把它收縮到一點的。

我們說，蘋果表面是“單連通的”，而輪胎面不是。
大約在一百年以前，龐加萊已經知道，二維球面本質上可由單連通性來刻畫，他提出三維球面(四維空間中與原點有單位距離的點的全體)的對應問題。這個問題立即變得無比困難，從那時起，數學家們就在為此奮斗。 　　

在2002年11月和2003年7月之間，俄羅斯的數學家格里戈里·佩雷爾曼在發表了三篇論文預印本，并聲稱證明了幾何化猜想。 　　

在佩雷爾曼之后，先后有3組研究者發表論文補全佩雷爾曼給出的證明中缺少的細節。這包括密西根大學的布魯斯·克萊納和約翰·洛特；哥倫比亞大學的約翰·摩根和麻省理工學院的田剛；以及理海大學的曹懷東和中山大學的朱熹平。 　　

2006年8月，第25屆國際數學家大會授予佩雷爾曼菲爾茲獎。
數學界最終確認佩雷爾曼的證明解決了龐加萊猜想。

四、黎曼(Riemann)假設
　　有些數具有不能表示為兩個更小的數的乘積的特殊性質，例如，2、3、5、7……等等。這樣的數稱為素數；它們在純數學及其應用中都起著重要作用。

在所有自然數中，這種素數的分布并不遵循任何有規則的模式；然而，德國數學家黎曼(1826~1866)觀察到，素數的頻率緊密相關于一個精心構造的所謂黎曼蔡塔函數z(s)的性態。

著名的黎曼假設斷言，方程z(s)=0的所有有意義的解都在一條直線上。這點已經對于開始的1,500,000,000個解驗證過。證明它對于每一個有意義的解都成立將為圍繞素數分布的許多奧秘帶來光明。

五、楊－米爾斯(Yang-Mills)存在性和質量缺口
　　量子物理的定律是以經典力學的牛頓定律對宏觀世界的方式對基本粒子世界成立的。大約半個世紀以前，楊振寧和米爾斯發現，量子物理揭示了在基本粒子物理與幾何對象的數學之間的令人注目的關系。

基于楊－米爾斯方程的預言已經在如下的全世界范圍內的實驗室中所履行的高能實驗中得到證實：
布羅克哈文、斯坦福、歐洲粒子物理研究所和筑波。

盡管如此，他們的既描述重粒子、又在數學上嚴格的方程沒有已知的解。特別是，被大多數物理學家所確認、并且在他們的對于“夸克”的不可見性的解釋中應用的“質量缺口”假設，從來沒有得到一個數學上令人滿意的證實。在這一問題上的進展需要在物理上和數學上兩方面引進根本上的新觀念。

六、納維葉－斯托克斯方程的存在性與光滑性
　　起伏的波浪跟隨著我們的正在湖中蜿蜒穿梭的小船，湍急的氣流跟隨著我們的現代噴氣式飛機的飛行。數學家和物理學家深信，無論是微風還是湍流，都可以通過理解納維葉－斯托克斯方程的解，來對它們進行解釋和預言。雖然這些方程是19世紀寫下的，我們對它們的理解仍然極少。挑戰在于對數學理論作出實質性的進展，使我們能解開隱藏在納維葉－斯托克斯方程中的奧秘。

七、貝赫和斯維訥通－戴爾猜想
　　數學家總是被諸如x^2+y^2=z^2那樣的代數方程的所有整數解的刻畫問題著迷。歐幾里德曾經對這一方程給出完全的解答，但是對于更為復雜的方程，這就變得極為困難。

事實上，正如馬蒂雅謝維奇指出，希爾伯特第十問題是不可解的，即，不存在一般的方法來確定這樣的方法是否有一個整數解。

當解是一個阿貝爾簇的點時，貝赫和斯維訥通－戴爾猜想認為，有理點的群的大小與一個有關的蔡塔函數z(s)在點s=1附近的性態。

特別是，這個有趣的猜想認為，如果z(1)等于0,那么存在無限多個有理點(解)，相反，如果z(1)不等于0,那么只存在有限多個這樣的點。
世界七大數學難題完。

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Hilbert提出的23個問題?
大衛·希爾伯特（David Hilbert，1862年1月23日－1943年2月14日），德國數學家，是19世紀和20世紀初最具影響力的數學家之一。

他在數學上的領導地位充分體現于：
1900年,在巴黎的國際數學家大會提出的一系列問題（希爾伯特的23個問題）為20世紀的許多數學研究指出方向。

希爾伯特23個問題及其解決情況： 　　
1． 連續統假設?
1874年，康托猜測在可列集基數和實數基數之間沒有別的基數，這就是著名的連續統假設。
1938年，哥德爾證明了連續統假設和世界公認的策梅洛--弗倫克爾集合論公理系統的無矛盾性。
1963年，美國數學家科亨證明連續假設和策梅洛--倫克爾集合論公理是彼此獨立的。
因此，連續統假設不能在策梅洛--弗倫克爾公理體系內證明其正確性與否。希爾伯特第1問題在這個意義上已獲解決。 　　

2． 算術公理的相容性?歐幾里得幾何的相容性可歸結為算術公理的相容性。
希爾伯特曾提出用形式主義計劃的證明論方法加以證明。
1931年，哥德爾發表的不完備性定理否定了這種看法。
1936年德國數學家根茨在使用超限歸納法的條件下證明了算術公理的相容性。 　　
1988年出版的《中國大百科全書》數學卷指出，數學相容性問題尚未解決。 　　

3． 兩個等底等高四面體的體積相等問題?　　
問題的意思是，存在兩個等邊等高的四面體，它們不可分解為有限個小四面體，使這兩組四面體彼此全等。M.W.德恩1900年即對此問題給出了肯定解答。 　　

4． 兩點間以直線為距離最短線問題?
此問題提得過于一般。滿足此性質的幾何學很多，因而需增加某些限制條件。
1973年，蘇聯數學家波格列洛夫宣布，在對稱距離情況下，問題獲得解決。 　　

《中國大百科全書》說，在希爾伯特之后，在構造與探討各種特殊度量幾何方面有許多進展，但問題并未解決。 　　

5.一個連續變換群的李氏概念，定義這個群的函數不假定是可微的?這個問題簡稱連續群的解析性，即：是否每一個局部歐氏群都有一定是李群？
中間經馮·諾伊曼（1933，對緊群情形）、邦德里雅金（1939，對交換群情形）、謝瓦莢（1941，對可解群情形）的努力，1952年由格利森、蒙哥馬利、齊賓共同解決，得到了完全肯定的結果。 　　

6.物理學的公理化?
希爾伯特建議用數學的公理化方法推演出全部物理，首先是概率和力學。
1933年，蘇聯數學家柯爾莫哥洛夫實現了將概率論公理化。后來在量子力學、量子場論方面取得了很大成功。但是物理學是否能全盤公理化，很多人表示懷疑。 　　

7.某些數的無理性與超越性?
1934年，A.O.蓋爾方德和T.施奈德各自獨立地解決了問題的后半部分，即對于任意代數數α≠0 ，1，和任意代數無理數β證明了αβ 的超越性。 　　

8.素數問題 包括黎曼猜想、哥德巴赫猜想及孿生素數問題等。
一般情況下的黎曼猜想仍待解決。哥德巴赫猜想的最佳結果屬于陳景潤（1966），但離最解決尚有距離。
目前孿生素數問題的最佳結果也屬于陳景潤。 　　

9．在任意數域中證明最一般的互反律?
該問題已由日本數學家高木貞治（1921）和德國數學家E.阿廷（1927）解決。 　　

10． 丟番圖方程的可解性?
能求出一個整系數方程的整數根，稱為丟番圖方程可解。
希爾伯特問，能否用一種由有限步構成的一般算法判斷一個丟番圖方程的可解性？
1970年，蘇聯的IO.B.馬季亞謝維奇證明了希爾伯特所期望的算法不存在。 　　

11． 系數為任意代數數的二次型?
H.哈塞（1929）和C.L.西格爾（1936，1951）在這個問題上獲得重要結果。 　　

12． 將阿貝爾域上的克羅克定理推廣到任意的代數有理域上去?
這一問題只有一些零星的結果，離徹底解決還相差很遠。 　　

13． 不可能用只有兩個變數的函數解一般的七次方程?
七次方程 的根依賴于3個參數a、b、c，即x=x （a，b，c）。這個函數能否用二元函數表示出來？

蘇聯數學家阿諾爾德解決了連續函數的情形（1957），維士斯金又把它推廣到了連續可微函數的情形（1964）。但如果要求是解析函數，則問題尚未解決。 　　

14． 證明某類完備函數系的有限性?
這和代數不變量問題有關。1958年，日本數學家永田雅宜給出了反例。 　　

15． 舒伯特計數演算的嚴格基礎?
一個典型問題是：在三維空間中有四條直線，問有幾條直線能和這四條直線都相交？
舒伯特給出了一個直觀解法。希爾伯特要求將問題一般化，并給以嚴格基礎。現在已有了一些可計算的方法，它和代數幾何學不密切聯系。但嚴格的基礎迄今仍未確立。 　　

16． 代數曲線和代數曲線面的拓撲問題?
這個問題分為兩部分。前半部分涉及代數曲線含有閉的分枝曲線的最大數目。后半部分要求討論 的極限環的最大個數和相對位置，其中X、Y是x、y的n次多項式.
蘇聯的彼得羅夫斯基曾宣稱證明了n=2時極限環的個數不超過3，但這一結論是錯誤的，已由中國數學家舉出反例（1979）。 　　

17． 半正定形式的平方和表示?
一個實系數n元多項式對一切數組(x1,x2,...,xn) 都恒大于或等于0，是否都能寫成平方和的形式？
1927年阿廷證明這是對的。 　　

18． 用全等多面體構造空間?
由德國數學家比勃馬赫（1910）、莢因哈特（1928）作出部分解決。 　　

19． 正則變分問題的解是否一定解析?
對這一問題的研究很少。C.H.伯恩斯坦和彼得羅夫斯基等得出了一些結果。 　　

20． 一般邊值問題?
這一問題進展十分迅速，已成為一個很大的數學分支。目前還在繼續研究。 　　

21． 具有給定單值群的線性微分方程解的存在性證明?
已由希爾伯特本人（1905）和H.羅爾（1957）的工作解決。 　　

22． 由自守函數構成的解析函數的單值化?
它涉及艱辛的黎曼曲面論，1907年P.克伯獲重要突破，其他方面尚未解決。 　　

23． 變分法的進一步發展出?
這并不是一個明確的數學問題，只是談了對變分法的一般看法。20世紀以來變分法有了很大的發展。 　　
這23問題涉及現代數學大部分重要領域，推動了20世紀數學的發展。

基于MATLAB對希爾伯特矩陣的實現
　　在MATLAB中，生成希爾伯特矩陣的函數是hilb(n)。 　　
使用一般方法求逆會因為原始數據的微小擾動而產生不可靠的計算結果。

MATLAB中，有一個專門求希爾伯特矩陣的逆的函數invhilb(n)，其功能是求n階的希爾伯特矩陣的逆矩陣。 　　例1 求4階希爾伯特矩陣及其逆矩陣。命令如下： 　　
format rat %以有理形式輸出 　　
H=hilb(4) 　　
K=invhilb(4) 　　
運行結果如下 　　
H = 　　1 1/2 1/3 1/4 　　1/2 1/3 1/4 1/5 　　1/3 1/4 1/5 1/6 　　1/4 1/5 1/6 1/7 　　
K = 　　16 -120 240 -140 　　-120 1200 -2700 1680 　　240 -2700 6480 -4200 　　-140 1680 -4200 2800

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July：有資料[06年文獻]，顯示希爾伯特23個問題大部已經解決，
但仍有以下13個問題仍是懸而未決。

1、問題1連續統假設。?
全體正整數（被稱為可數集）的基數和實數集合（被稱為連續統）的基數c之間沒有其它基數。?
背景：1938年奧地利數學家哥德爾證明此假設在集合論公理系統，即策莫羅-佛朗克爾公理系統里，不可證偽。?
1963年美國數學家柯恩證明在該公理系統，不能證明此假設是對的。?
所以，至今未有人知道，此假設到底是對還是錯。

2、問題2 算術公理相容性。?
背景：哥德爾證明了算術系統的不完備，使希爾伯特的用元數學證明算術公理系統的無矛盾性的想法破滅。?
3、?問題7 某些數的無理性和超越性。?
5、?問題8 素數問題。?
6、?問題11 系數為任意代數數的二次型。?
背景：德國和法國數學家在60年代曾取得重大進展。?
7、?問題12 阿貝爾域上的克羅內克定理在任意代數有理域上的推廣。?
背景：此問題只有些零散的結果，離徹底解決還十分遙遠。?
8、?問題13 僅用二元函數解一般7次代數方程的不可能性。?
背景：1957蘇聯數學家解決了連續函數情形。如要求是解析函數則此問題尚未完全解決。?
9、?問題15 舒伯特計數演算的嚴格基礎。?
背景： 代數簌交點的個數問題。和代數幾何學有關。?
10、?問題16 代數曲線和曲面的拓撲。?
要求代數曲線含有閉的分枝曲線的最大數目。和微分方程的極限環的最多個數和相對位置。?
11、?問題18 用全等多面體來構造空間。?
無限個相等的給定形式的多面體最緊密的排列問題，現在仍未解決。?
12、?問題20 一般邊值問題。?
偏微分方程的邊值問題，正在蓬勃發展。?

總結

以上是生活随笔為你收集整理的世界七大数学难题与Hilbert的23个问题的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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