哥德巴赫猜想-中文维基百科
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哥德巴赫猜想（Goldbach’s conjecture）
是數(shù)論中存在最久的未解問題之一。這個猜想最早出現(xiàn)在1742年普魯士人克里斯蒂安·哥德巴赫與瑞士數(shù)學(xué)家萊昂哈德·歐拉的通信中。用現(xiàn)代的數(shù)學(xué)語言，哥德巴赫猜想可以陳述為：
任一大于2的偶數(shù)，都可表示成兩個素數(shù)之和。
這個猜想與當(dāng)時歐洲數(shù)論學(xué)家討論的整數(shù)分拆問題有一定聯(lián)系。整數(shù)分拆問題是一類討論“是否能將整數(shù)分拆為某些擁有特定性質(zhì)的數(shù)的和”的問題，比如能否將所有整數(shù)都分拆為若干個完全平方數(shù)之和，或者若干個完全立方數(shù)的和等。而將一個給定的偶數(shù)分拆成兩個素數(shù)之和，則被稱之為此數(shù)的哥德巴赫分拆。例如，
4=2+24 = 2 + 24=2+2
6=3+36 = 3 + 36=3+3
8=3+58 = 3 + 58=3+5
10=3+7=5+510 = 3 + 7 = 5 + 510=3+7=5+5
12=5+712 = 5 + 712=5+7
14=3+11=7+714 = 3 + 11 = 7 + 714=3+11=7+7
換句話說，哥德巴赫猜想主張每個大于等于4的偶數(shù)都是哥德巴赫數(shù)——可表示成兩個素數(shù)之和的數(shù)[1]。哥德巴赫猜想也是二十世紀(jì)初希爾伯特第八問題中的一個子問題。
其實，也有一部分奇數(shù)可以用兩個素數(shù)的和表示，大多數(shù)的奇數(shù)無法用兩個素數(shù)的和表示，例如：15=2+13 ，而 23、35等數(shù)則無法用兩素數(shù)的和表示。
哥德巴赫猜想在提出后的很長一段時間內(nèi)毫無進(jìn)展，直到二十世紀(jì)二十年代，數(shù)學(xué)家從組合數(shù)學(xué)與解析數(shù)論兩方面分別提出了解決的思路，并在其后的半個世紀(jì)里取得了一系列突破。目前最好的結(jié)果是中國數(shù)學(xué)家陳景潤在1973年發(fā)表的陳氏定理（也被稱為“1+2”）。
哥德巴赫猜想另一個較弱的版本（也稱為弱哥德巴赫猜想）是聲稱大于5的奇數(shù)都可以表示成三個素數(shù)之和。這個猜想可以從哥德巴赫猜想推出。1937年，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家伊萬·維諾格拉多夫證明了每個充分大的奇數(shù)，都可以表示成三個素數(shù)之和，基本證明了弱哥德巴赫猜想。
起源
1742年6月7日，普魯士數(shù)學(xué)家克里斯蒂安·哥德巴赫在寫給瑞士數(shù)學(xué)家萊昂哈德·歐拉的通信中[2]，提出了以下的猜想：
任一大于2的整數(shù)都可以寫成三個質(zhì)數(shù)之和。
上述與現(xiàn)今的陳述有所出入，原因是當(dāng)時的哥德巴赫遵照的是“1也是素數(shù)”的約定。現(xiàn)今數(shù)學(xué)界已經(jīng)不使用這個約定了。哥德巴赫原初猜想的現(xiàn)代陳述為：
任一大于5的整數(shù)都可寫成三個質(zhì)數(shù)之和。
歐拉在6月30日的回信中注明此一猜想可以有另一個等價的版本：
(A):(A):(A):任一大于2的偶數(shù)都可寫成兩個質(zhì)數(shù)之和。
并將此一猜想視為一定理，但他卻無法證明[3][4]。今日常見的猜想陳述為歐拉的版本，亦稱為“強(qiáng)哥德巴赫猜想”或“關(guān)于偶數(shù)的哥德巴赫猜想”。
從關(guān)于偶數(shù)的哥德巴赫猜想，可推出：
(B):(B):(B): 任一大于5的奇數(shù)都可寫成三個素數(shù)之和
的猜想。后者稱為“弱哥德巴赫猜想”或“關(guān)于奇數(shù)的哥德巴赫猜想”。若關(guān)于偶數(shù)的哥德巴赫猜想是對的，則關(guān)于奇數(shù)的哥德巴赫猜想也會是對的[4]。
1937年時前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家維諾格拉多夫已經(jīng)證明充分大的奇素數(shù)都能寫成三個素數(shù)的和，也稱為“哥德巴赫-維諾格拉多夫定理”或“三素數(shù)定理”[4]。
2013年，秘魯數(shù)學(xué)家哈洛德·賀歐夫各特等人將維諾格拉多夫的結(jié)論進(jìn)一步加強(qiáng)，并驗證了較小的奇素數(shù)的情況，宣稱完全證明了弱哥德巴赫猜想。[5][6]
進(jìn)展
一百六十余年的沉寂
哥德巴赫猜想相當(dāng)困難。直至今日，數(shù)學(xué)家對于哥德巴赫猜想的完整證明沒有任何頭緒。事實上，從1742年這個猜想正式出現(xiàn)，到二十世紀(jì)初期，在超過160年的時間里，盡管許多數(shù)學(xué)家對這個猜想進(jìn)行了研究，但沒有取得任何實質(zhì)性的進(jìn)展，也沒有獲得任何有效的研究方法。二十世紀(jì)以前對哥德巴赫猜想的研究，僅限于做一些數(shù)值上的驗證工作，提出一些等價的關(guān)系式，或?qū)χ鲆恍┻M(jìn)一步的猜測[7]。1900年，希爾伯特在第二屆國際數(shù)學(xué)家大會上提出的著名的二十三個希爾伯特問題之中的第八個問題，就包括了哥德巴赫猜想和與它類似的孿生素數(shù)猜想[7]。希爾伯特的問題引發(fā)了數(shù)學(xué)家的極大興趣，但對于哥德巴赫猜想的研究仍舊毫無進(jìn)展。1912年第五屆國際數(shù)際數(shù)學(xué)家大會上，德國數(shù)論專家愛德蒙·朗道曾經(jīng)說過，即使要證明每個偶數(shù)能夠表示成K個素數(shù)的和，不管K是多少，都是數(shù)學(xué)家力所不及的。1921年，英國數(shù)學(xué)家戈弗雷·哈羅德·哈代曾經(jīng)在哥本哈根數(shù)學(xué)會議的一次演講中聲稱：“哥德巴赫猜想的困難程度可以與任何一個已知的數(shù)學(xué)難題相比”[7]。
第一次重大突破
哈代和朗道做出以上的看法時，對強(qiáng)哥德巴赫猜想的研究已經(jīng)踏在了突破的門檻上。關(guān)于哥德巴赫猜想的第一次重大突破正是出現(xiàn)在二十世紀(jì)20年代[8]。
這次突破與十九世紀(jì)至二十世紀(jì)初歐洲數(shù)學(xué)家們在數(shù)論與函數(shù)論方面取得的輝煌成就是分不開的。歐拉、高斯、黎曼、狄利克雷、阿達(dá)馬等人的成果為后來的研究提供了強(qiáng)有力的工具和深厚的積累，打下了牢固的基礎(chǔ)[8]。
1920年左右，英國數(shù)學(xué)家哈代和約翰·伊登斯?fàn)枴だ貭栁榈?/strong>極大地發(fā)展了解析數(shù)論，建立起了“圓法”等研究數(shù)論問題的有力工具。他們在1923年合作發(fā)表的論文中使用“圓法”證明了：在假設(shè)廣義黎曼猜想成立的前提下，每個充分大的奇數(shù)都能表示為三個素數(shù)的和以及幾乎每一個充分大的偶數(shù)都能表示成兩個素數(shù)的和[8][9]。當(dāng)然，“幾乎每一個”與“每一個”之間仍然有巨大的技術(shù)鴻溝。
大約于此同時，挪威數(shù)學(xué)家布朗提供了另外一種證明的思路。1919年，他使用推廣后的“篩法”證明了：所有充分大的偶數(shù)都能表示成兩個數(shù)之和，并且兩個數(shù)的素因數(shù)個數(shù)都不超過9個[8]。這個方法的思路是：如果能將其中的“9個”縮減到“1個”，就證明了哥德巴赫猜想。布朗證明的命題可以被記作“9+9”，以此類推，哥德巴赫猜想就是“1+1”。
圓法
注意：以下數(shù)學(xué)公式中的符號 p1,p2,?p_{1},p_{2},\cdotsp1?,p2?,? 等都表示素數(shù)。
從1920年開始，哈代和利特爾伍德合作陸續(xù)發(fā)表了七篇總標(biāo)題為《“整數(shù)拆分”的幾個問題》的論文，系統(tǒng)地發(fā)展出了堆壘數(shù)論中一個新的分析方法[4]。這個新方法的思想在1918年哈代與印度數(shù)學(xué)家拉瑪努賈合寫的論文《組合分析的漸進(jìn)公式》中就有表現(xiàn)[10]。應(yīng)用到哥德巴赫猜想上的話，圓法的思想是：對于非零整數(shù) mmm，沿著單位圓為路徑的環(huán)路積分
∫01e2πimtdt=0.{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{1}e^{2\pi imt}\mathrm ozvdkddzhkzd t=0.\end{aligned}}}∫01?e2πimtdt=0.?
當(dāng)且只當(dāng)整數(shù) m=0m=0m=0 的時候，上面的積分才等于1。因此，如果考慮積分式：
D(N)=∫01S2(t,N)e?2πiNtdt.D(N)=\int _{0}^{1}S^{2}(t,N)e^{{-2\pi iNt}}{\mathrm ozvdkddzhkzd}t.D(N)=∫01?S2(t,N)e?2πiNtdt.
其中 S(t,N)=∑2<p≤Ne2πiptS(t,N)=\sum _{{2<p\leq N}}e^{{2\pi ipt}}S(t,N)=∑2<p≤N?e2πipt，那么這個積分式實際上等于：
D(N)=∫01∑2<p1,p2?Ne2πi(p1+p2)te?2πiNtdt=∑2<p1,p2?N∫01e2πi(p1+p2)te?2πiNtdt=∑2<p1,p2?Np1+p2=N∫01e2πi(p1+p2?N)tdt+∑2<p1,p2?Np1+p2≠N∫01e2πi(p1+p2?N)tdt=Card?{(p1,p2)∣2<p1,p2?N,p1+p2=N}+∑2<p1,p2?Np1+p2≠N∫01e2πi(p1+p2?N)tdt{\displaystyle {\begin{aligned}D(N)&=\int _{0}^{1}\sum _{2<p_{1},p_{2}\leqslant N}e^{2\pi i(p_{1}+p_{2})t}e^{-2\pi iNt}\mathrm ozvdkddzhkzd t\quad =\sum _{2<p_{1},p_{2}\leqslant N}\int _{0}^{1}e^{2\pi i(p_{1}+p_{2})t}e^{-2\pi iNt}\mathrm ozvdkddzhkzd t\\&=\sum _{2<p_{1},p_{2}\leqslant N \atop {p_{1}+p_{2}=N}}\int _{0}^{1}e^{2\pi i(p_{1}+p_{2}-N)t}\mathrm ozvdkddzhkzd t\quad +\sum _{2<p_{1},p_{2}\leqslant N \atop {p_{1}+p_{2}\neq N}}\int _{0}^{1}e^{2\pi i(p_{1}+p_{2}-N)t}\mathrm ozvdkddzhkzd t\\&=\operatorname {Card} \{(p_{1},p_{2})\,\,|2<p_{1},p_{2}\leqslant N,\,p_{1}+p_{2}=N\}\quad +\sum _{2<p_{1},p_{2}\leqslant N \atop {p_{1}+p_{2}\neq N}}\int _{0}^{1}e^{2\pi i(p_{1}+p_{2}-N)t}\mathrm ozvdkddzhkzd t\end{aligned}}}D(N)?=∫01?2<p1?,p2??N∑?e2πi(p1?+p2?)te?2πiNtdt=2<p1?,p2??N∑?∫01?e2πi(p1?+p2?)te?2πiNtdt=p1?+p2?=N2<p1?,p2??N?∑?∫01?e2πi(p1?+p2??N)tdt+p1?+p2??=N2<p1?,p2??N?∑?∫01?e2πi(p1?+p2??N)tdt=Card{(p1?,p2?)∣2<p1?,p2??N,p1?+p2?=N}+p1?+p2??=N2<p1?,p2??N?∑?∫01?e2πi(p1?+p2??N)tdt?
上式中第二項等于0，所以
D(N)=D(N)=D(N)=方程“ p1+p2=Np_{1}+p_{2}=Np1?+p2?=N”的解 (p1,p2)(p_{1},p_{2})(p1?,p2?)的個數(shù)。
所以，關(guān)于偶數(shù)的哥德巴赫猜想其實等于是說對于所有大于等于6的偶數(shù) NNN，單位圓上的環(huán)路積分式 D(N)>0D(N)>0D(N)>0。同理，關(guān)于奇數(shù)的哥德巴赫猜想等價于環(huán)路積分式：
T(N)=∫01S3(t,N)e?2πiNtdt>0T(N)=\int _{0}^{1}S^{3}(t,N)e^{{-2\pi iNt}}{\mathrm ozvdkddzhkzd}t>0T(N)=∫01?S3(t,N)e?2πiNtdt>0
因此，研究哥德巴赫猜想可以歸結(jié)為研究積分式 D(N)D(N)D(N) 和 T(N)T(N)T(N) 中以素數(shù)為變數(shù)的三角多項式 e2πipte^{{2\pi ipt}}e2πipt。哈代和利特爾伍德猜測，當(dāng)變量 ttt 接近于分母“比較小”的既約分?jǐn)?shù)時，S(t,N)S(t,N)S(t,N) 的值會“比較大”，而當(dāng) ttt 接近于分母“比較大”的既約分?jǐn)?shù)時， S(t,N)S(t,N)S(t,N) 的值會“比較小”。也就是說，積分 D(N)D(N)D(N) 的主要部分其實是單位圓上分母“比較小”的那些既約分?jǐn)?shù)附近的積分，其它的部分上積分則沒那么重要，可以忽略掉了。因此，可以將整個單位圓分成兩個部分：一部分是單位圓上分母“比較小”的那些既約分?jǐn)?shù)附近包括的一些區(qū)間，哈代和利特爾伍德稱其為“優(yōu)弧”（major arc，與平面幾何中的“優(yōu)弧”不同），其余的部分則稱為“劣弧”（minor arc）。
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哥德巴赫猜想—初等數(shù)論課后習(xí)題
總結(jié)
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