哥德巴赫猜想-中文維基百科

哥德巴赫猜想（Goldbach’s conjecture）
是數論中存在最久的未解問題之一。這個猜想最早出現在1742年普魯士人克里斯蒂安·哥德巴赫與瑞士數學家萊昂哈德·歐拉的通信中。用現代的數學語言，哥德巴赫猜想可以陳述為：

任一大于2的偶數，都可表示成兩個素數之和。

這個猜想與當時歐洲數論學家討論的整數分拆問題有一定聯系。整數分拆問題是一類討論“是否能將整數分拆為某些擁有特定性質的數的和”的問題，比如能否將所有整數都分拆為若干個完全平方數之和，或者若干個完全立方數的和等。而將一個給定的偶數分拆成兩個素數之和，則被稱之為此數的哥德巴赫分拆。例如，
$$4=2+2$$

$$6=3+3$$

$$8=3+5$$

$$10=3+7=5+5$$

$$12=5+7$$

$$14=3+11=7+7$$

換句話說，哥德巴赫猜想主張每個大于等于4的偶數都是哥德巴赫數——可表示成兩個素數之和的數[1]。哥德巴赫猜想也是二十世紀初希爾伯特第八問題中的一個子問題。

其實，也有一部分奇數可以用兩個素數的和表示，大多數的奇數無法用兩個素數的和表示，例如：15=2+13 ，而 23、35等數則無法用兩素數的和表示。

哥德巴赫猜想在提出后的很長一段時間內毫無進展，直到二十世紀二十年代，數學家從組合數學與解析數論兩方面分別提出了解決的思路，并在其后的半個世紀里取得了一系列突破。目前最好的結果是中國數學家陳景潤在1973年發表的陳氏定理（也被稱為“1+2”）。

哥德巴赫猜想另一個較弱的版本（也稱為弱哥德巴赫猜想）是聲稱大于5的奇數都可以表示成三個素數之和。這個猜想可以從哥德巴赫猜想推出。1937年，蘇聯數學家伊萬·維諾格拉多夫證明了每個充分大的奇數，都可以表示成三個素數之和，基本證明了弱哥德巴赫猜想。

起源

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1742年6月7日，普魯士數學家克里斯蒂安·哥德巴赫在寫給瑞士數學家萊昂哈德·歐拉的通信中[2]，提出了以下的猜想：

任一大于2的整數都可以寫成三個質數之和。

上述與現今的陳述有所出入，原因是當時的哥德巴赫遵照的是“1也是素數”的約定。現今數學界已經不使用這個約定了。哥德巴赫原初猜想的現代陳述為：

任一大于5的整數都可寫成三個質數之和。

歐拉在6月30日的回信中注明此一猜想可以有另一個等價的版本：

$(A):$任一大于2的偶數都可寫成兩個質數之和。

并將此一猜想視為一定理，但他卻無法證明[3][4]。今日常見的猜想陳述為歐拉的版本，亦稱為“強哥德巴赫猜想”或“關于偶數的哥德巴赫猜想”。

從關于偶數的哥德巴赫猜想，可推出：

$(B):$ 任一大于5的奇數都可寫成三個素數之和

的猜想。后者稱為“弱哥德巴赫猜想”或“關于奇數的哥德巴赫猜想”。若關于偶數的哥德巴赫猜想是對的，則關于奇數的哥德巴赫猜想也會是對的[4]。
1937年時前蘇聯數學家維諾格拉多夫已經證明充分大的奇素數都能寫成三個素數的和，也稱為“哥德巴赫-維諾格拉多夫定理”或“三素數定理”[4]。
2013年，秘魯數學家哈洛德·賀歐夫各特等人將維諾格拉多夫的結論進一步加強，并驗證了較小的奇素數的情況，宣稱完全證明了弱哥德巴赫猜想。[5][6]

進展

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一百六十余年的沉寂

哥德巴赫猜想相當困難。直至今日，數學家對于哥德巴赫猜想的完整證明沒有任何頭緒。事實上，從1742年這個猜想正式出現，到二十世紀初期，在超過160年的時間里，盡管許多數學家對這個猜想進行了研究，但沒有取得任何實質性的進展，也沒有獲得任何有效的研究方法。二十世紀以前對哥德巴赫猜想的研究，僅限于做一些數值上的驗證工作，提出一些等價的關系式，或對之做一些進一步的猜測[7]。1900年，希爾伯特在第二屆國際數學家大會上提出的著名的二十三個希爾伯特問題之中的第八個問題，就包括了哥德巴赫猜想和與它類似的孿生素數猜想[7]。希爾伯特的問題引發了數學家的極大興趣，但對于哥德巴赫猜想的研究仍舊毫無進展。1912年第五屆國際數際數學家大會上，德國數論專家愛德蒙·朗道曾經說過，即使要證明每個偶數能夠表示成K個素數的和，不管K是多少，都是數學家力所不及的。1921年，英國數學家戈弗雷·哈羅德·哈代曾經在哥本哈根數學會議的一次演講中聲稱：“哥德巴赫猜想的困難程度可以與任何一個已知的數學難題相比”[7]。

第一次重大突破

哈代和朗道做出以上的看法時，對強哥德巴赫猜想的研究已經踏在了突破的門檻上。關于哥德巴赫猜想的第一次重大突破正是出現在二十世紀20年代[8]。
這次突破與十九世紀至二十世紀初歐洲數學家們在數論與函數論方面取得的輝煌成就是分不開的。歐拉、高斯、黎曼、狄利克雷、阿達馬等人的成果為后來的研究提供了強有力的工具和深厚的積累，打下了牢固的基礎[8]。
1920年左右，英國數學家哈代和約翰·伊登斯爾·利特爾伍德極大地發展了解析數論，建立起了“圓法”等研究數論問題的有力工具。他們在1923年合作發表的論文中使用“圓法”證明了：在假設廣義黎曼猜想成立的前提下，每個充分大的奇數都能表示為三個素數的和以及幾乎每一個充分大的偶數都能表示成兩個素數的和[8][9]。當然，“幾乎每一個”與“每一個”之間仍然有巨大的技術鴻溝。

大約于此同時，挪威數學家布朗提供了另外一種證明的思路。1919年，他使用推廣后的“篩法”證明了：所有充分大的偶數都能表示成兩個數之和，并且兩個數的素因數個數都不超過9個[8]。這個方法的思路是：如果能將其中的“9個”縮減到“1個”，就證明了哥德巴赫猜想。布朗證明的命題可以被記作“9+9”，以此類推，哥德巴赫猜想就是“1+1”。

圓法
注意：以下數學公式中的符號 $p_1,p_2,?$ 等都表示素數。
從1920年開始，哈代和利特爾伍德合作陸續發表了七篇總標題為《“整數拆分”的幾個問題》的論文，系統地發展出了堆壘數論中一個新的分析方法[4]。這個新方法的思想在1918年哈代與印度數學家拉瑪努賈合寫的論文《組合分析的漸進公式》中就有表現[10]。應用到哥德巴赫猜想上的話，圓法的思想是：對于非零整數 $m$，沿著單位圓為路徑的環路積分

$$\begin{array}{r}{\int }_0^1{e}^{2\pi imt}\mathrm{d}t=0.\end{array}$$
當且只當整數 $m=0$ 的時候，上面的積分才等于1。因此，如果考慮積分式：

$$D(N)={\int }_0^1{S}^2(t,N)e^{?2\pi iNt}\mathrm{d}t.$$

其中 $S(t,N)={\sum }_{2<p\le N}{e}^{2\pi ipt}$，那么這個積分式實際上等于：

$$\begin{array}{rl}D(N)& ={\int }_0^1\sum _{2<p_1,p_2?N}{e}^{2\pi i(p_1+p_2)t}{e}^{?2\pi iNt}\mathrm{d}t=\sum _{2<p_1,p_2?N}{\int }_0^1{e}^{2\pi i(p_1+p_2)t}{e}^{?2\pi iNt}\mathrm{d}t\\ & =\sum _{\genfrac{}{}{0ex}{}{2<p_1,p_2?N}{p_1+p_2=N}}{\int }_0^1{e}^{2\pi i(p_1+p_2?N)t}\mathrm{d}t+\sum _{\genfrac{}{}{0ex}{}{2<p_1,p_2?N}{p_1+p_2=N}}{\int }_0^1{e}^{2\pi i(p_1+p_2?N)t}\mathrm{d}t\\ & =\mathrm{Card}\{(p_1,p_2)|2<p_1,p_2?N,p_1+p_2=N\}+\sum _{\genfrac{}{}{0ex}{}{2<p_1,p_2?N}{p_1+p_2=N}}{\int }_0^1{e}^{2\pi i(p_1+p_2?N)t}\mathrm{d}t\end{array}$$

上式中第二項等于0，所以

$D(N)=$方程“ $p_1+p_2=N$”的解 $(p_1,p_2)$的個數。
所以，關于偶數的哥德巴赫猜想其實等于是說對于所有大于等于6的偶數 $N$，單位圓上的環路積分式 $D(N)>0$。同理，關于奇數的哥德巴赫猜想等價于環路積分式：

$$T(N)={\int }_0^1{S}^3(t,N)e^{?2\pi iNt}\mathrm{d}t>0$$

因此，研究哥德巴赫猜想可以歸結為研究積分式 $D(N)$ 和 $T(N)$ 中以素數為變數的三角多項式 $e^{2\pi ipt}$。哈代和利特爾伍德猜測，當變量 $t$ 接近于分母“比較小”的既約分數時，$S(t,N)$ 的值會“比較大”，而當 $t$ 接近于分母“比較大”的既約分數時， $S(t,N)$ 的值會“比較小”。也就是說，積分 $D(N)$ 的主要部分其實是單位圓上分母“比較小”的那些既約分數附近的積分，其它的部分上積分則沒那么重要，可以忽略掉了。因此，可以將整個單位圓分成兩個部分：一部分是單位圓上分母“比較小”的那些既約分數附近包括的一些區間，哈代和利特爾伍德稱其為“優弧”（major arc，與平面幾何中的“優弧”不同），其余的部分則稱為“劣弧”（minor arc）。
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哥德巴赫猜想—初等數論課后習題

總結

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