題意

我叫王大錘，是一名特工。我剛剛接到任務：在字節跳動大街進行埋伏，抓捕恐怖分子孔連順。和我一起行動的還有另外兩名特工，我提議

我們在字節跳動大街的N個建筑中選定3個埋伏地點。

為了相互照應，我們決定相距最遠的兩名特工間的距離不超過D。

我特喵是個天才! 經過精密的計算，我們從X種可行的埋伏方案中選擇了一種。這個方案萬無一失，顫抖吧，孔連順！

……

萬萬沒想到，計劃還是失敗了，孔連順化妝成小龍女，混在cosplay的隊伍中逃出了字節跳動大街。只怪他的偽裝太成功了，就是楊過本人來了也發現不了的！

請聽題：給定N（可選作為埋伏點的建筑物數）、D（相距最遠的兩名特工間的距離的最大值）以及可選建筑的坐標，計算在這次行動中，大錘的小隊有多少種埋伏選擇。

注意：

兩個特工不能埋伏在同一地點

三個特工是等價的：即同樣的位置組合(A, B, C) 只算一種埋伏方法，不能因“特工之間互換位置”而重復使用

輸入描述:

第一行包含空格分隔的兩個數字 N和D(1 ≤ N ≤ 1000000; 1 ≤ D ≤ 1000000)

第二行包含N個建筑物的的位置，每個位置用一個整數（取值區間為[0, 1000000]）表示，從小到大排列（將字節跳動大街看做一條數軸）
輸出描述:
一個數字，表示不同埋伏方案的數量。結果可能溢出，請對 99997867 取模
輸入例子1:
4 3
1 2 3 4
輸出例子1:
4
例子說明1:
可選方案 (1, 2, 3), (1, 2, 4), (1, 3, 4), (2, 3, 4)
輸入例子2:
5 19
1 10 20 30 50
輸出例子2:
1
例子說明2:
可選方案 (1, 10, 20)

題解

首先我們來理一下題目當中出現的幾個點，我們要算的是特工埋伏的方法數。特工埋伏需要固定3個特工，并且要求特工之間的距離小于D。

題目當中還說特工之間是等價的，如果大家敏感的話，這其實是一道排列組合問題，準確的說是一道組合問題。這和n球里任意取3個出來有多少種組合本質上是一樣的，如果大家還記得組合公式的話套一下就可以了：

這里的k固定了是3，我們代入進去可以簡化為：
，所以現在唯一的問題就是n不知道。我們可以知道n是可以通過D來進行計算的，至于怎么計算我們先放一放，先來對問題進行一個建模。

首先，由于題目當中說的是特工分布在一條大街上，我們可以把大街看成是橫坐標軸，每一個特工就是坐標軸上的一個點。由于題目當中限定了3個特工之間的距離不超過D，其實也就是最左側和最右側的距離小于D。我們可以想象有一個長度為D的線段在這個坐標軸上滑動，窗口內的特工數量就是n。

由于特工的位置是固定的，所以這個n是很好算的。假如我們用一個數組sum來存儲從0開始到當前位置一共包含的特工數，那么區間[x, x+D]范圍內的特工數量其實就等于sum[x+D]-sum[x]。這里我們可以通過差分數組來搞定，也可以使用樹狀數組，我這里用了樹狀數組，其實沒有必要，因為不涉及更新操作。

所以接下來我們要做的就是把這個窗口從最左側往右滑動就可以了，每次窗口內特工變化的時候，我們計算一下構成的組合數累加在一起就可以了。進一步我們可以想到，其實我們只需要關心窗口的左邊緣，我們把窗口的左邊緣和特工重疊，這樣能夠使得窗口內的特工數量盡可能多。

比如[1, 2, 3, 4]這個樣例，顯然當窗口的左邊緣和1重疊的時候，能夠把4也覆蓋了，否則就會遺漏一些情況。很多人想到這里就去寫代碼了，但是這里藏了一個trick，當我們的窗口移動的時候，實際上會出現有一些組合重復的情況。

比如說窗口長度是4，當前窗口內的特工是[1, 2, 3, 4]，其中有一種組合是(2, 3, 4)。當我們窗口左側邊緣移動到2的時候，窗口內的特工是[2, 3, 4, 5]，這里同樣可以構成組合(2, 3, 4)，這就構成了重復，我們需要去掉這一種方案。去的方法也很簡單，我們每次移動窗口的時候都記錄下移動之前的窗口右邊緣的位置。當我們移動之后，我們當前左側邊緣和上次右側邊緣中的特工是重復的，我們需要去掉相關情況。

比如說，我們移動之前是[1, 5, 6, 7]，移動之后是[5, 6, 7, 8, 10, 12]。當前的左側邊緣是5，上次的右側邊緣是7，[5, 7]這個區間內的組合數就是重復的情況， 我們需要去掉。另外我們還需要注意一下邊界的事情，由于我們計算組合數需要用到三方的計算，而n最大是1e6，三次方之后就是1e18的范圍，顯然使用int是扛不住的，必須要用long long， long long的范圍是2e18，基本上注意這幾點就可以AC了。

最后，我們來看代碼。

#include <iostream> #include <cstdio> #include <cstring> #include <queue> #include <vector> #include <cmath> #include <cstdlib> #include <string> #include <map> #include <set> #include <algorithm> #include "time.h" #include <functional> #define rep(i,a,b) for (int i=a;i<b;i++) #define Rep(i,a,b) for (int i=a;i>=b;i--) #define foreach(e,x) for (__typeof(x.begin()) e=x.begin();e!=x.end();e++) #define mid ((l+r)>>1) #define lson (k<<1) #define rson (k<<1|1) #define MEM(a,x) memset(a,x,sizeof a) #define L ch[r][0] #define R ch[r][1] #define pii pair<int, int> using namespace std; const int N=1000050; const long long Mod=99997867; int x, y;int arr[N];// 樹狀數組 int lowbit(int x) {return x & (-x); }void update(int x, int y) {for (int i = x; i < N; i += lowbit(i)) {arr[i] += y;} }int query(int x) {int ret = 0;for (int i = x; i > 0; i -= lowbit(i)) {ret += arr[i];}return ret; }long long cal(long long x) {return x * (x-1) * (x-2) / (long long) 6; }int main() {int n, d;scanf("%d%d", &n, &d);vector<int> positions;rep(i, 0, n) {int u;scanf("%d", &u);u += 1;positions.push_back(u);update(u, 1);}long long ret = 0;int last = 0;for (int i = 0; i < positions.size(); i++) {int u = positions[i];long long num = query(u+d) - query(u-1);if (num < 3) continue;long long cur = cal(num);// 去掉重復的可能性if (last > u) {long long cnum = query(last) - query(u-1);cur -= cal(cnum);}ret = ((ret + cur) % Mod + Mod) % Mod;last = u + d;}printf("%lld\n", ret);return 0; }

說明

代碼里有一個細節，我們在對最終結果進行取模的時候，不是直接% Mod，而是用了一個比較復雜的方式：ret = ((ret + cur) % Mod + Mod) % Mod;。這是因為我們直接取模在一些情況下可能會得到負數，會影響我們的結果，所以需要通過這種方式來確保得到的結果一定是正數。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的牛客网-数据结构笔试题目（二）-万万没想到之抓捕孔连顺思路解析（附源码）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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