題意

有一個人在玩一個離子激活的游戲，題目的背景是模擬的化學當中的離子能量躍遷。在化學當中，離子吸收能量可以從低能態躍遷到高能態，并且放出一定的能量。
現在有N粒離子排成一排（下標1-N），每一個離子都有自己的能量參數。也就是吸收多少能量可以躍遷，并且躍遷之后會放出多少能量。還有一個特殊的性質就是這些離子之間帶有連帶關系，默認的連帶關系是第i個離子與第i+1個離子連帶。當i離子躍遷的時候，即使i+1的離子沒有吸收能量也會發生躍遷。其中第N個離子無法建立連帶關系。
現在這個人獲得了K次改變離子之間連帶關系的能力，它必須要嚴格改變K個離子的連帶對象。除此之外我們可以自由選擇任意個離子進行激活，請問我們最多能夠獲得多少能量收益？能量收益是指獲得的能量減去消耗的能量。

樣例

在樣例當中我們將5離子的紐帶改變成1離子，激活離子5，這樣我們一共可以讓1-5離子都進行躍遷。所帶來的的能量收益就是5 + 6 + 7 + 8 + 10 - 1 = 35

題解

拿到手沒什么思路，我們可以先從簡單的情況開始思考。
K=0

我們分析完了K=0最簡單的情況之后，發現了一件事，就是除了我們改變連帶的離子之外，其他的離子都是連續的。我們激活一個可以激活一串，這有點像是什么呢，像是鏈表，我們改變離子的連帶關系，其實就是修改鏈表當中某一個節點的next指針。

比如我們看這張圖，當離子a的連帶對象從a+1修改成b之后，其實意味著我們將a節點的next指向了b。這樣當我們遍歷的時候，a的下一個位置就是b。
a的next位置是任意的，可以在a的前面也可以在a的后面，但是不能是a本身。想明白了這點之后，其實所謂的修改K個離子的連帶關系，就是在鏈表當中修改K條邊。然后我們可以選擇若干個起始位置來遍歷鏈表，使得題意規定的收益最大。
另外我們發現不論這K條邊連接如何，除了這K條邊之外的內容都還是順序連接的。我們可以使用前綴和算法來快速求某一段區間的和。

前綴和算法

并且我們要維護presum也非常簡單，其中presum[1] = A[1]，對于i > 1的所有i，都有presum[i]=presum[i-1] + A[i]。通過這么一個簡單的遞推式，我們就可以非常方便地求出所有的presum，計算所有的前綴和了。
前綴和非常方便，在很多題目當中都有使用，但是有一個小小的條件就是維護區間和的數組內的元素不能發生變化。否則的話就沒辦法使用了。

K >= 2

講完了前綴和之后我們繼續來分析問題，我們接著看下K >= 2時的情況。我們可以發現當K > 2時，我們只要激活一個小于N的i，就可以獲得全部離子。
我們來看一個例子，這是K=2時的情況：

我們激活的是某一個i，然后在a位置跳轉到了1，又在i-1跳轉到了a+1。雖然我們跳轉了兩次，但是所有的離子都沒有浪費。
我們利用遞推的思想可以發現，只要K >= 2，就可以保證將所有的離子都納入囊中。所以我們很容易發現，我們只需要選擇代價最小的i就行了。

K = 1

為什么把K=1的情況放到最后呢？因為它最復雜，情況很多，非常非常容易遺漏。
我們前面曾經提到過，對于i位置而言，它的連帶對象可以在它前面也可以在它后面。我們針對這兩種情況需要單獨分析，首先是它的連帶對象在它前面。那么最優的情況一定是它和1號離子連帶。這樣的話，我們只要激活[2, i]區間里任何一個離子，都可以獲得前i個離子的總收益。但是這里又有一個問題，我們要不要再激活離子i+1呢？如果激活的話，我們就獲得所有離子的收益，也可以不激活。

我們看完了連帶的節點在前面的情況再來看看連帶的情況在后面會怎么樣，還是看這張圖：

我們可以看到a點的連帶在其后的b點，這時候我們也有兩種情況，第一種情況是只激活1，這樣的話，我們可以拿到除了[a+1, b-1]區間內的值。第二種情況是激活1之后再激活a+1，這樣我們也可以獲得全部的離子，但是需要花費A[1]和A[a+1]。
這只是表面的分析，當我們深入分析之后會發現，由于離子釋放的能量一定是正數。我們當然希望它跳過的區間越小越好，因為跳過得多了都是損失。最極端的情況應該是b=a+2，也就是說我們只跳過a+1這一個元素。跳過a+1這個元素有兩種情況，第一種是真跳，也就是說拋棄了這個取值，第二種情況是假跳，我們雖然跳過了，但是還是會人為將它激活。

是的，你沒有看錯，這道題一共有7種情況，少了隨便哪一種都沒有辦法AC。題目雖然簡單，但是我們在做題的時候想要一下子把這7中情況都想明白理清楚實在是不容易，不過這樣的題目才更加值得我們去做，因為真的很鍛煉思維，對于提升我們思維的縝密程度非常有幫助。
最后，我們附上代碼。

import sys n, k = list(map(int, input().split(' ')))activate = list(map(int, input().split(' '))) deactivate = list(map(int, input().split(' ')))presum = [0 for _ in range(n+2)]for i in range(1, n+1):presum[i] = presum[i-1] + activate[i-1]ret = 0if k == 0:for i in range(1, n+1):# 情況0，不需要考慮連帶ret = max(ret, presum[n] - presum[i-1] - deactivate[i-1]) elif k == 1:for i in range(1, n):# 情況3 n-1連1ret = max(ret, presum[n-1] - deactivate[i-1])# 情況3再加上第N個離子if deactivate[n-1] < activate[n-1]:ret += (activate[n-1] - deactivate[n-1])deac = sorted(deactivate[1:n-1])ac = sorted(activate[1:n-1])# 情況5，激活1，跳過1個節點ret = max(ret, presum[n] - deactivate[0] - ac[0])# 情況6 激活1，跳過1個節點后，再激活ret = max(ret, presum[n] - deactivate[0] - deac[0])# 情況4 ret = max(ret, presum[n] - deac[0] - deac[1])# 情況7 1連n，激活ifor i in range(2, n+1):ret = max(ret, presum[n] - presum[i-1] - deactivate[i-1]) else:# 情況1for i in range(1, n):ret = max(ret, presum[n] - deactivate[i-1]) # 情況2ret = max(ret, activate[n-1] - deactivate[n-1])print(ret)

這道題有點燒腦，光憑我說可能很難完全理解清楚，建議大家多拿紙筆出來畫一畫，會有助于思考。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的牛客网-数据结构笔试题目（八）-离子能力跃迁问题求解的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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