連續系統的計算機模擬

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29.9 積分

 第2章 連續系統的計算機模擬本章討論連續系統的模擬技術,由于這類系統中狀態隨時間連續動態地變化，常常具有一定的規律，故可用一些數學方程來描述，這些方程就是系統的數學模型，通常以微分方程、代數方程為多見。下面將介紹利用數值積分法對連續系統進行數字模擬的基本原理和具體方法，并給出數值積分法中幾個常用的算法以及實現這些算法的計算程序，最后介紹兩個建模實例。 數值積分法不僅方法種類多，而且有較強的理論性，本章由淺入深地介紹幾種常見的數值解法。主要為單步法中的四階龍格--庫塔法與默森法和多步法中的亞當斯法。 使用數字計算機對連續系統進行模擬，首先必須將連續系統離散化，并將它轉化為差分方程，以建立所謂的模擬系統的數學模型。描述連續系統動態特征的數學模型是多種多樣的，除微分方程外，還有傳遞函數、結構圖及狀態方程等，由于篇幅所限，本書不討論后兩種方法。 建立系統的模擬模型之后，就要選擇計算機語言(也叫算法語言)編寫系統模擬程序，在計算機上運行，將結果保留在數據文件中以待傳輸和處理。由于模擬的目的不同，可以選用不同的模擬模型和算法，其特點是運算精度高，對于不同的計算機，字長一般在16位---72位之間，也可采用浮點運算和雙精度運算，其精度一般可達千萬分之一到百萬分之一。當然結果的精度與所選的算法有關。這可以根據實際需要選擇機器、算法和模擬的步長。數字計算機儲存容量大，可進行各種運算，在以前認為是不可能解決的問題，利用數字計算機都可容易地或有可能得到解決。本章介紹的方法適應性較強，應用也十分廣泛。數字計算機上還有各種功能的軟件包(即一些子程序)，用戶可以稍加修改或不經修改就可以用于自己的模擬程序中，解決自己的實際問題，使用非常方便。 2．1 歐拉(Euler)法 在討論連續系統的計算機模擬之前，讓我們先看一個化學反應的例子，通過這個例子我們可以看到怎樣使用數字計算機模擬一個實際問題，雖然介紹的是歐拉法，但是分析問題的思路同樣適用與其它數值積分法。 當兩種物質A和B放到一起產生化學反應時，產生第三種物質C，一般一克A與一克B結合產生2克的C物質，形成C 的速率與A 和B的數量乘積成正比，同樣C也可分解為A和B，C的分解速率正比與C的數量，即在任何時刻，如果a,b,和c是化學物質A,B,和C的數量，即在任何時刻，如果a,b,和c是化學物質A,B,C的數量，它們的增加和減少的速度服從下列微分方程。 (2.1)其中K1和K2 是比例常數(一般而言這些比例常數會隨溫度和壓力發生變化，但在模擬過程中，為了簡化模型，一般不允許其變化，故一律視為常數)。在給出常數K1 和K2 值以及A和B的數量(C=0)后，我們希望能確定有多少C物質產在出來，這種化學反應速率的決定在化學工業上是有意義的。 模擬該系統的一個直接的方法是在t＝0時開始，使t以Δt間隔增加。假定化學量在Δt時間步長內不變，而只能在Δt結束的瞬間發生變化，這樣在每個Δt結束時的A(或B或C)的數量就可以從Δt開始時的數值由下式求出 (2．2)同樣的方程b(t+Δt)和C(t+Δt),也可寫出。假定模擬周期為T,可將T分成N個小的時間步長Δt,及 -省略部分-加單位廣告產生的效果比s接近M的水平時, 增加廣告所取得的效果更顯著. (3)生產企業為了擴大銷售, 對每種產品究竟應投入多少廣告費用? 一般可采用最優控制方法, 求出最佳 廣告費, 這里可利用產品利潤達到最大為目標, 構成以下最優控制問題:狀態方程初始條件s(0)=S0控制約束 0 ≤ A (t) ≤ θ其中π為每件產品的盈利,θ為最大允許廣告水平,解此問題,可確定最佳廣告費. 習 題 1.某一地區的病菌傳染,三種人員人數的狀態方程,即可能受傳染的人數x1,已被傳染得病的人數x2及已經治愈的人數x3,并假設他們是因接觸傳染。設 α是x1中單位時間內的傳染系數 β是x2中單位時間內的被治愈的比例系數則得以下狀態方程本題α＝0.001， β＝0.027 初始條件：t=0, x1=620人， x2＝10人， x3＝70人 選步長：DT＝0.025，用四階RK法模擬 2．設一傳輸線路模型如圖，該電路由50個回路組成。用RK法求出I27，V34，IL及VL變化規律。 電路狀態方程為4 V=V-I·Rs I48=(V48-V49)/L I=(V-V1)·L/2 V49=(I49-IL) V=(I-I1)/C IL=(V49-VL)/L/2 I1= (V1-V2)/L VL=IL·RL V2= (I1-I2) /C I2=(V2-V3)/L 共99個一階微分方程，兩個代數方程已知L=0.5亨，法拉，歐姆，伏，步長DT=0.01,模擬時間TMAX=1.0 (提示：本題方程雖多，但基本相似，可以循環完成模擬)初始條件： 3.有一微分方程Ty＋y＝Ku ，試用歐拉法與歐拉改進法示寫出解的差分方程，并討論步長應選在什么范圍？若選的比2T大，將會產生什么結果？ 4.已知線性微分方程，當取h=0時，使用歐拉與龍格-庫塔法寫出第一步計算的表達式和計算結果。 5.已知系統方程為斜坡輸入和正弦輸入的響應進行模擬，并打印響應曲線。 6.將2-7中的水庫模擬缺少的子程序添加上，使用模擬數據庫運行程序，打印現結果，并存在數據庫中(可使用模擬數據)。 7.用極坐標表示衛星軌道，研究發射速度V對衛星的軌道影響。假定作用在衛星上的力僅僅是地球引力，則系統方程為K為重力系數(，地球半徑為6400km,計算發射速度分別為8km/s,10km和12km/s的衛星軌道。 y r θ 關?鍵?詞： 系統 計算機模擬 連續

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總結

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