1.函數(shù)極限的定義：

假設(shè) $f(x)$ 是一個(gè)實(shí)函數(shù)，$c$ 是一個(gè)實(shí)數(shù)，那么
$$\underset{x\to c}{\lim }f(x)=L$$
表示 $f(x)$ 可以任意地靠近 $L$，只要我們讓 $x$ 充分靠近 $c$。此時(shí)，我們說(shuō)當(dāng) $x$ 趨向 $c$ 時(shí)，函數(shù) $f(x)$ 的極限是 $L$。值得特別指出的是，這個(gè)定義在 $f(c)$ 的時(shí)候同樣是成立的。事實(shí)上，即使 $f(x)$ 在 $c$ 點(diǎn)沒(méi)有定義，我們?nèi)匀豢梢远x上述的極限。—《維基百科》

$簡(jiǎn)單說(shuō)就是f(x)在c點(diǎn)的左右極限都存在且相等，如圖$

$注意：函數(shù)f(x)在c點(diǎn)有無(wú)極限與在c點(diǎn)有無(wú)定義無(wú)關(guān)$

2.函數(shù)在某一點(diǎn)連續(xù)的定義：

假設(shè) $f(x)$ 是一個(gè)實(shí)函數(shù)，定義域?yàn)镽，$f(x)$ 在R中的某一點(diǎn) $c$ 處連續(xù)當(dāng)且僅當(dāng)以下的兩個(gè)條件滿足即可：

$f(x)$ 在 c 點(diǎn)有定義。

$f(x)$ 在c點(diǎn)有極限，且極限等與 $f(x)$ 在該點(diǎn)的函數(shù)值，即 $$\underset{x\to c}{\lim }f(x)=f(c)$$

詳細(xì)定義請(qǐng)參考維基百科：
https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%BF%9E%E7%BB%AD%E5%87%BD%E6%95%B0

3.函數(shù)的極限與連續(xù)性的關(guān)系：

$由定義可得函數(shù)在某一點(diǎn)連續(xù)必有極限，有極限不一定連續(xù)$

$(1)函數(shù)在某一點(diǎn)連續(xù)一定有極限嗎？$

一定。根據(jù)定義函數(shù)在某一點(diǎn)連續(xù)必有極限

$(2)連續(xù)函數(shù)一定有極限嗎？$

不一定。例如，函數(shù) $y=x$ 當(dāng) $x$ 趨向與正無(wú)窮時(shí)，$y$ 也趨向與正無(wú)窮，不存在極限。連續(xù)函數(shù)一定存在極限指的是趨向某個(gè)確定值的時(shí)候才存在極限，比如 $x$ 趨向與3。

$(3)函數(shù)在某一點(diǎn)有極限，則在該點(diǎn)一定連續(xù)嗎？$

不一定。比如，第一類可去間斷點(diǎn)函數(shù)，間斷點(diǎn)的極限存在，但函數(shù)在該點(diǎn)無(wú)定義,所以不連續(xù)。

$(4)函數(shù)在某一點(diǎn)有極限，則該點(diǎn)一定有定義嗎？有定義一定有極限嗎？$

不一定。根據(jù)函數(shù)極限的定義，可得函數(shù)在某一點(diǎn)有極限與在該點(diǎn)是否有定義并無(wú)關(guān)系。
不一定。比如分段函數(shù)。

$(5)有界的連續(xù)函數(shù)一定有極限嗎？$

不一定。比如三角函數(shù) $sin(x)$。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的函数的极限与连续性的关系的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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