線段樹專題-等差子序列

感謝

感謝孫耀峰的線段樹PPT,使我獲益匪淺.

題目來源

$BZOJ?2124$

題意

給出長度為$n$的$1?n$的排列$A$
問是否存在一組$1\le p_1\le p_2\le ...\le p_l\le n,l\ge 3$
使得$A_{p1},A_{p2},...,A_{pl}$構成等差序列
數據范圍$n\le 10^4$

題解

只要能形成長度為$3$的等差子序列,就直接輸出$Yes$即可.

即需要尋找$i,j,k$滿足$A_i=A_j?t,A_k=A_j+t,且t>0.$

根據轉化后的式子,我們只需要枚舉$j$,判斷是否存在這樣的$t$即可.

考慮到$A$是一個排列,排列中的數兩兩不同,因此我們可以考慮開一個數據結構維護一下內容:

當枚舉到$A_j$的時候,我可以很快的查詢任何一個$A_i$在$A_j$的左邊還是右邊,(記如果$i<j$則$A_j$應該標記為$0$表示在左邊,若$i>j$則$A_j$應該標記為$1$表示在右邊).

這樣的話,如果$01$串$[A_j?t,A_j?1]$與$[A_j+1,A_j+t]$之間有一位不相同(也就是說存在關于$A_j$的對稱位置的兩個數在$A_j$兩側,說明可以形成等差子序列).

因此只有當以上兩個01串,翻轉過來完全相同的情況下,才不存在以$A_j$作為中心的等差序列.

如何判斷$01$串相同呢?答案是哈希.

建立一顆線段樹,維護的是$01$串的正向和反向哈希值.

從小到大枚舉$A_j,[1,n]$,然后更新線段樹,并判斷是否有以$A_j$為對稱中心的等差序列.

代碼

#include <iostream> #include <cstring> const int N = 10007; typedef unsigned long long ull; int T,n; int a[N];ull pow[N]; struct work{ull hash0,hash1;int len; };#define pr(x) std::cout << #x << ": " << x << std::endl struct segtree{ull hashs[N * 4][2];void maintain(int rt,int l,int r) {int mid = (l + r) / 2;hashs[rt][0] = hashs[rt*2][0] + hashs[rt*2+1][0] * pow[mid - l + 1];hashs[rt][1] = hashs[rt*2+1][1] + hashs[rt*2][1] * pow[r - mid];}void change(int rt,int l,int r,int pos,int val) {if(l == r) {hashs[rt][0] = hashs[rt][1] = val;return ;} int mid = (l + r) / 2;if(pos > mid) change(rt*2+1,mid+1,r,pos,val);elsechange(rt*2,l,mid,pos,val);maintain(rt,l,r);}work query(int rt,int l,int r,int ql,int qr) {if(r < ql || qr < l) {return (work){0,0,0};} else if(ql <= l && r <= qr) {return (work){hashs[rt][0],hashs[rt][1],r - l + 1};}int mid = (l + r) / 2;work wa = query(rt*2,l,mid,ql,qr);work wb = query(rt*2+1,mid+1,r,ql,qr);return (work){wa.hash0 + wb.hash0 * pow[wa.len],wb.hash1 + wa.hash1 * pow[wb.len],wa.len + wb.len};}}seg;int main() {pow[0] = 1;for(int i = 1;i < N;++i) pow[i] = 3 * pow[i-1];std::ios::sync_with_stdio(false);std::cin >> T;while(T--) {int f = 0;memset(&seg,0,sizeof(seg));std::cin >> n;for(int i = 1;i <= n;++i) {std::cin >> a[i];seg.change(1,1,n,a[i],1);if(a[i] == 1 || a[i] == n) continue;int len = std::min(a[i]-1,n - a[i]);work wa = seg.query(1,1,n,a[i]-len,a[i]-1);work wb = seg.query(1,1,n,a[i]+1,a[i]+len);if(wa.hash0 != wb.hash1) {f = 1;}}if(!f) std::cout << "N" << std::endl;elsestd::cout << "Y" << std::endl;}return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的线段树专题-等差子序列 BZOJ-2124的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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