XSY3318
CSA35G
對于一個詢問區間的集合$S$，求出每一個數被哪些區間覆蓋了，記為$S_i$。
要能保證猜出選中數，當且僅當每個數的$S_i$互不相同。
考慮求出不滿足要求的集合$S$的個數。

首先可以觀察得到$S_i$的一個性質：若$a<b<c<d$且$S_a=S_c,S_b=S_d$，則必有$S_a=S_b=S_c=S_d$。

證明：因為$S_a=S_c$，所以如果一個區間覆蓋了$a$，一定也覆蓋了$c$，那么這個區間一定也覆蓋了$b$，又因為$S_b=S_d$，所以該區間一定也覆蓋了$d$。同理可證覆蓋了$b$或$c$或$d$的區間一定也覆蓋了其它三個數。

我們給每個數一個編號$a_i$，滿足當且僅當$S_i$相同的數$a_i$相同。

由剛才的性質我們知道，不同的$a$值的排布 只可能是以下情況：
–x--xx–xy—y–yy–（$x,y$出現范圍呈并列關系）
–x--y-yy-y-x-xx-----（$x,y$出現范圍呈包含與被包含關系）
不可能是這種情況：
–xx-y-x-x-yyy-------（$x,y$出現范圍呈相交關系）

所以可以把 構造形如 x–xy–yz–z 的序列$a$ 分解成 構造形如 x—x 的序列$a$，構造形如 y–y 的序列$a$，構造形如 z–z 的序列$a$ 三個子問題。

并且在構造形如 x—x 的序列$a$時， — 不管怎么填，最后得到的方案都一定猜不出選中數。
y–y ， z–z 同理。

形式化地，每次把$a$中的第一個數$x$放入$b$的末尾，然后在$a$中刪掉最后一個$x$前的所有數（包括最后一個$x$）。
例如$a=[1,2,3,2,4,2,5,5,10,6,7,8,7,6,9]$
此時$b=[1,2,5,10,6,9]$
可以發現，只包含被刪掉數的區間可有可無，但包含未被刪掉數的區間一定要使未被刪掉數的$a$值互不相同，即這些包含未被刪掉數的區間對應著一個長度為$|b|$的序列的答案。
例如序列$b$中一個包含1,2的區間，對應著序列$a$中一個包含1,2,3,2,4,2的區間。

那么就可以DP了：
記$f_i$為$i$個數的答案，$g_{i,j}$為$i$個數，處理之后之剩$j$個數的答案。則有：

$$f_i=2^{C_{i+1}^2}?\sum _{j=1}^{i?1}{f}_j{g}_{i,j}$$

$$g_{i,j}=g_{i?1,j?1}+\sum _{k=0}{g}_{i?k?2,j?1}{2}^{C_{k+1}^2}$$

時間復雜度：$O(n^3)$或$O(n^{2}logn)$

還可以用多項式優化，但我不會。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的[CSA35G][XSY3318]Counting Quests （DP）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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