一個(gè)好用的工具——析合樹

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例題

CF526F

題意：
給出一個(gè)1~$n$的排列，問(wèn)有多少個(gè)區(qū)間的值域是連續(xù)的。

題解：
線段樹+單調(diào)棧做法
分治做法
析合樹做法
圖論做法

CF997E

題意：
給出一個(gè)1~$n$的排列，有$q$次詢問(wèn)，每次問(wèn)$[l,r]$內(nèi)，有多少個(gè)區(qū)間的值域是連續(xù)的?

題解：
單調(diào)棧+線段樹的掃描線做法
析合樹離線做法
析合樹在線做法

LuoguP4747

題意：
給出一個(gè)1~$n$的排列，有$q$次詢問(wèn)，每次問(wèn)包含位置區(qū)間$[l,r]$的連續(xù)段的最短長(zhǎng)度是多少，連續(xù)段的定義為排序后值域連續(xù)，可以證明解存在且唯一。

題解：
掃描線做法
析合樹做法
圖論做法：題解1 題解2

XSY3344

emm，這題原題好像是2018EC Final B.Mysterious … Host
這里有簡(jiǎn)要題解

題意：

題解：
所有$n$階排列形成的等價(jià)類個(gè)數(shù) 等于 有$n$個(gè)葉子的不同形態(tài)的析合樹棵樹。

析合樹有以下性質(zhì)：

• 合點(diǎn)的兒子個(gè)數(shù)$\ge 2$（葉子節(jié)點(diǎn)除外）
• 析點(diǎn)的兒子個(gè)數(shù)$\ge 4$

設(shè)$f_i$為所有$i$階排列形成的等價(jià)類個(gè)數(shù)（即有$i$個(gè)葉子的不同形態(tài)的析合樹棵樹）。
顯然可以$O(n^2)$DP得到$f_n$。

多項(xiàng)式優(yōu)化：
記$F(x)={\sum }_{i\ge 0}{f}_i{x}^i$，那么有
$$F(x)=(F^2(x)+F^3(X)+F^4(x)+...)+(F^4(x)+F^5(X)+F^6(x)+...)+x$$
$$F(x)=(F^2(x)+F^4(x))(1+F(x)+F^2(X)+F^3(x)+...)+x$$
$$F(x)=\frac{F^2(x)+F^4(x)}{1?F(x)}+x$$

參考——兩個(gè)學(xué)長(zhǎng)的$Blog$：
https://www.cnblogs.com/ywwyww/p/10193748.html
https://blog.csdn.net/Mys_C_K/article/details/85385019

附：析合樹形態(tài)計(jì)數(shù) dp

LuoguP6795

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的连续段问题小结的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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