傳送門

subtask 1：$d=1$

答案為$k^n$。

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subtask 2：$n\le 1000,k\le 100$

設$f[i][j]$表示由$i$個復讀機來分$j$個時間點的方案數。
可以得到遞推式：
$$f[i][j]=\sum _{p=0}^j[d|p]C_j^p\times f[i?1][j?p]$$
$O(n{k}^2)$暴力DP即可。

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subtask 3：$d=2$

把$d=2$代入上面的遞推式得：
$$f[i][j]=\sum _{p=0}^j[2|p]C_j^p\times f[i?1][j?p]$$
$$f[i][j]=\sum _{p=0}^j[2|p]\frac{j!}{p!(j?p)!}\times f[i?1][j?p]$$
$$\frac{f[i][j]}{j!}=\sum _{p=0}^j[2|p]\frac{1}{p!}\frac{f[i?1][j?p]}{(j?p)!}$$
設$A_i(x)={\sum }_{j=0}^{\infty }f[i][j]\times \frac{x^j}{j!},B(x)={\sum }_{j=0}^{\infty }[2|j]\frac{x^j}{j!}$
代入上式得：
$$A_i(x)[x^j]=\sum _{p=0}^{j}B(x)[x^p]\times A_{i?1}(x)[x^{j?p}]$$
所以$$A_i(x)=B(x)A_{i?1}(x)$$
又因為$A_0(x)=1$
所以$$A_i(x)=B^i(x)$$

化簡$B(x)$：
因為$e^x={\sum }_{j=0}^{\infty }\frac{x^j}{j!},e^{?x}={\sum }_{j=0}^{\infty }(?1{)}^j\times \frac{x^j}{j!}$
所以$$B(x)=\frac{e^x+e^{?x}}{2}$$

所以$f[k][n]$(最終答案)為$(\frac{e^x+e^{?x}}{2}{)}^k\times n!$的$n$次項系數。
將上式二項式展開得：$$n!\times \frac{1}{2^k}\sum _{i=0}^k{C}_k^i\times e^{ix}\times e^{(i?k)x}$$
$$=n!\times \frac{1}{2^k}\sum _{i=0}^k{C}_k^i\times e^{(2i?k)x}$$
而$e^{(2i?k)x}={\sum }_{j=0}^{\infty }\frac{((2i?k)x{)}^j}{j!}$，其$n$次項系數為$\frac{(2i?k{)}^n}{n!}$

所以最終答案為$$\frac{1}{2^k}\sum _{i=0}^k{C}_k^i\times (2i?k{)}^n$$

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subtask 4：d=3

同樣考慮生成函數，答案就是$({\sum }_{i=0}^{\infty }[3|i]\frac{x^i}{i!}{)}^k\times n!$的$n$次項系數。

有一個trick，叫單位根反演，大概是這樣：
$$[n|k]=\frac{1}{n}\sum _{i=0}^{n?1}{w}_n^{ki}$$
注意到$19491001?1$是3的倍數 ，即$mod?1$是3的倍數，故存在三次單位根$r$。由單位根的定義知，$r=R^{\frac{mod?1}{3}}$ ，其中$R$是$mod$的一個原根。運用單位根反演，有：

$$\sum _{i=0}^{\infty }[3|i]\frac{x^i}{i!}=\frac{1}{3}\sum _{i=0}^{\infty }\frac{(r^0+r^i+r^{2i})x^i}{i!}=\frac{e^x+e^{rx}+e^{r^{2}x}}{3}$$

所以答案就是$(\frac{e^x+e^{rx}+e^{r^{2}x}}{3}{)}^k\times n!$的$n$次項系數。
將上式大力展開得：
$$n!\times \frac{1}{3^k}\sum _{i=0}^k\sum _{j=0}^{k?i}{C}_k^i\times C_{k?i}^j\times e^{ix}\times e^{jrx}\times e^{(k?i?j)r^{2}x}$$

$$=n!\times \frac{1}{3^k}\sum _{i=0}^k\sum _{j=0}^{k?i}{C}_k^i\times C_{k?i}^j\times e^{(i+jr+(k?i?j)r^2)x}$$

$e^{(i+jr+(k?i?j)r^2)x}$的$n$次項系數為$\frac{(i+jr+(k?i?j)r^2{)}^n}{n!}$

所以最終答案為：
$$=\frac{1}{3^k}\sum _{i=0}^k\sum _{j=0}^{k?i}{C}_k^i\times C_{k?i}^j\times (i+jr+(k?i?j)r^2{)}^n$$

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后話：其實，對于$d=2$的情況，–1就是二次單位根。

#include<bits/stdc++.h> using namespace std; typedef long long ll; const int mod=19491001; const int r=18827933; const int K=500010; int read(){int x=0,f=1;char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}return x*f; } int add(int a,int b){return a+b>=mod?a+b-mod:a+b;}; int dec(int a,int b){return a<b?a-b+mod:a-b;} int mul(int a,int b){return 1ll*a*b%mod;} int ksm(int a,int b){int res=1;while(b){if(b&1) res=mul(res,a);b>>=1;a=mul(a,a);}return res; } int inv(int a){return ksm(a,mod-2); } int n,k,d,fac[K],ifac[K]; int C(int n,int m){return mul(fac[n],mul(ifac[n-m],ifac[m])); } int main(){n=read();k=read();d=read();if(d==1){printf("%d\n",ksm(k,n));return 0;}fac[0]=1;for(int i=1;i<=k;i++) fac[i]=mul(fac[i-1],i);ifac[k]=inv(fac[k]);for(int i=k;i>=1;i--) ifac[i-1]=mul(ifac[i],i);if(d==2){int ans=0;for(int i=0;i<=k;i++) ans=add(ans,mul(C(k,i),ksm(2*i-k,n)));ans=mul(ans,inv(ksm(2,k)));printf("%d\n",ans);return 0;}int ans=0;for(int i=0;i<=k;i++){int sum=0;for(int j=0;j<=k-i;j++)sum=add(sum,mul(C(k-i,j),ksm(((ll)r*r*i%mod+(ll)r*j%mod+k-i-j)%mod,n)));ans=add(ans,mul(sum,C(k,i)));}ans=mul(ans,inv(ksm(3,k)));printf("%d\n",ans);return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的[集训队作业2018] 复读机（生成函数，单位根反演）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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