知識點

• MST的構造
  Boruvka算法常用于解決這類問題：給你n個點，每個點有點權，任意兩個點之間有邊權，邊權為兩個點權用過某種計算方式得出，求最小生成樹。動圖

• MST上的確定性和存在性問題

• 最小生成樹的兩個性質：
  (1) 不同的最小生成樹中,每種權值的邊出現(xiàn)的個數(shù)是確定的
  (2) 不同的生成樹中,某一種權值的邊連接完成后,形成的聯(lián)通塊狀態(tài)是一樣的
  可以用這兩個性質做最小生成樹計數(shù)

• Kruskal重構樹
  

• 令$a,b$路徑上最長邊最短： “最短的最長邊”一定在MST上，所以我們求一下MST，再在MST上找$a,b$路徑上的最長邊。

• 問$n$個點$m$條邊的無向連通圖上任兩點的最短距離，$m?n$很小：隨便建一棵生成樹，把圖看成樹上掛幾條邊 CF1051F The Shortest Statement

• trick： 對區(qū)間$[l,r]$操作$?$ 連邊$l\to r+1$

題

CF888G Xor-MST

Boruvka + 01Trie樹

Boruvka算法簡介：
對圖中所有的點$i$，找到$i$連向其它點的最小邊，如果這條邊還沒加進$MST$，就把它加上。執(zhí)行完后，把每個連通塊縮成點。
不斷重復上面的操作，直到只剩下一個連通塊。
時間復雜度$O((m+n)logn)$

此題中，要讓$a_i\oplus a_j$最小，就讓$a_i,a_j$的高位盡量保持相等。
假設我們現(xiàn)在運行Boruvka，并且目前只剩兩個連通塊，那么設$p$表示所有的$a$的第1~$(p?1)$位（從高位數(shù)起）都相等，在第$p$位才出現(xiàn)不同。

那么在這兩個連通塊中一定不會有 連接$i,j$且$a[i]$的第$p$位和$a[j]$的第$p$位不同的邊 ，也就是說$a$值的第$p$位為1的點構成一個連通塊，$a$值的第$p$位為0的點構成一個連通塊。

那么最后加入的邊一定是 連接$i,j$且$a[i]$的第$p$位和$a[j]$的第$p$位不同的邊，用 01Trie樹 找到這樣的最小邊。

加完最后一條邊，我們再遞歸回去，把$a$值的第$p$位為1的點連成一個連通塊，$a$值的第$p$位為0的點連成一個連通塊。

Code

CF1108F MST Unification

Blog

Code

CF733F Drivers Dissatisfaction

根據(jù)貪心，把$S$的費用全部用來降一條邊的權值不比用來降多條邊的權值劣。

枚舉每一條邊，看一下降這條邊的答案是多少，最后取最優(yōu)結果即可
先用Kruskal建出MST，設$sum$為MST里各邊的權值和。

• 如果降樹邊：
  答案為$sum??\frac{S}{c_i}?$（保證降完后該邊是在MST里的）

• 如果降非樹邊：
  把降完權值后的非樹邊連上，原MST上出現(xiàn)一個環(huán)，我們找到環(huán)上最大的邊刪掉即為新的MST。
  每條非樹邊對應的環(huán)上最大邊邊權可以用倍增預處理出來。

Code

CF1416D Graph and Queries

Kruskal重構樹
不會刪邊。所以考慮離線，按時間倒序進行操作，刪邊變成加邊。

但是遇到的麻煩是，操作 1 是正序進行的，如果我們倒序操作，就不知道當前哪些點 $p_u=0$ 了。

解決方法是，先倒序遍歷一遍所有操作，按“加邊”的順序，建出重構樹。重構樹優(yōu)美的性質是，對任意一個節(jié)點 v，在某個時刻之前和它連通的節(jié)點，恰好在重構樹上 v 的某個祖先的子樹中。并且我們可以通過樹上倍增，在 $O(logn)$ 的時間內找到這個祖先。

建出重構樹后，我們回到正向的時間線。按正序處理所有詢問（操作 1）。前面說過，在某個時刻和 v 連通的節(jié)點，在 v 某個祖先的子樹中。先倍增找到這個祖先。它的子樹是 dfs 序上連續(xù)的一段。我們預處理出重構樹的 dfs 序，那么問題轉化為求區(qū)間最大值，支持單點修改。可以用線段樹維護。

Code

CF1253F Cheap Robot

法一：
先預處理出$di{s}_u$表示$u$到最近的充電中心的距離（求多源最短路戳這）
從$a$到$b$的路徑 能經過邊$(u\to v,w)$，當且僅當$c?di{s}_u?w\ge di{s}_v$，即$di{s}_u+di{s}_v+w\le c$。

那么問題變成求一條從$a$到$b$的路徑使得路徑上每條邊的$di{s}_u+di{s}_v+w$的最大值最小（明顯是滿足條件的最小的$c$）。

可以用Kruskal重構樹實現(xiàn)，
也可以用NOIP2013貨車運輸/BZOJ3732 Network的套路實現(xiàn)：
“最短的最長邊”一定在MST上，所以我們求一下MST，再在MST上找$a,b$路徑上的最長邊。

法二：
在任意兩個充電中心$i,j$之間連邊，邊權$d_{i,j}$為原圖上$i,j$之間的最短距離。
那么$c$為新圖中從$a$到$b$的路徑上最長邊的最小值。法一中已經解決了這個問題。

現(xiàn)在的問題是如何求$d_{i,j}$，這里介紹一種剪枝方法：
先跑多源最短路，對每個點$i$求出離$i$最近的充電中心$f_i$和到$f_i$的最短距離$di{s}_i$，然后枚舉原圖中的每條邊$(u\to v,w)$，在新圖上連邊$f_u\to f_v$，邊權$w^{\prime }$為$di{s}_u+di{s}_v+w$，
可以證明$mi{n}_{fu\to fv}\{w^{\prime }[fu\to fv]\}=d_{u,v}$。同樣的剪枝方法見這里。

Code

CF1051F The Shortest Statement

$m?n<=20$，所以可以看成是一棵樹上掛了幾條邊
樹上求兩點間最短距離用LCA
多出來的邊怎么辦？
找出所有非樹邊的端點記為特殊點，枚舉u,v間路徑過每一個特殊點的情況
(u,v路徑要過非樹邊一定過特殊點，枚舉過點的情況是因為可以用dijkstra)
因為u,v間路徑只有 只過樹邊 和 不是只過樹邊 2種，所以一定不會漏(不保證不重,但沒關系)

Code

CF1120D Power Tree

Blog

Code

總結

以上是生活随笔為你收集整理的图论复习——最小生成树MST的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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