玩具裝箱

金牌導航 決策單調性優化DP-1

題目大意

給出若干個物品，把$i$到$j$個物品裝在一起的長度$l=j?i+{\sum }_{k=i}^j{a}_k$（物品必須是連續的），其代價為$(l+L{)}^2$（L為給出的常數），問把所有物品裝起來的最小代價

輸入樣例

5 4 3 4 2 1 4

輸出樣例

1

樣例解釋

按3,4,21,4分配
代價為1+0+0+0=1

數據范圍

$1?N?5\times 10^4,1?L,a_i?10^7$

解題思路

設f_i為前i個物品裝完的最小代價
那么有
$$f_i=mi{n}_{j=1}^{i?1}(f_j+(l?L{)}^2)$$
把代入四邊形不等式，然后暴力拆開，可以證明其滿足決策單調性
然后代入決策單調性的模板即可

代碼

#include<cstdio> #include<cstring> #include<iostream> #include<algorithm> #define ll long long #define N 50010 using namespace std; ll n, L, l, r, mid, top, a[N], f[N], d[N], lt[N]; ll g(ll x, ll y) {return f[x] + (y - x - 1 + a[y] - a[x] - L) * (y - x - 1 + a[y] - a[x] - L); } ll find(ll x) {ll l = 1, r = top;while(l < r){ll mid = (l + r + 1) >> 1;if (x < lt[mid]) r = mid - 1;else l = mid;}return d[l]; } int main() {scanf("%lld%lld", &n, &L);for (ll i = 1; i <= n; ++i){scanf("%lld", &a[i]);a[i] += a[i - 1]; }lt[++top] = 1;d[top] = 0;for (ll i = 1; i <= n; ++i){f[i] = g(find(i), i);while(top && g(i, lt[top]) < g(d[top], lt[top])) top--;l = lt[top];r = n;while (l < r){mid = (l + r) >> 1;if (g(i, mid) < g(d[top], mid)) r = mid;else l = mid + 1;}if (g(i, l) > g(d[top], l)) continue;d[++top] = i;lt[top] = l;}printf("%lld", f[n]);return 0; }

注：本題可以用斜率優化進行計算，但這里不進行講解

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【决策单调性】玩具装箱（金牌导航 决策单调性优化DP-1）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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