正題

luogu
CF1204E

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題目大意

給出序列a，由n個(gè)1和m個(gè)-1組成，設(shè) f 為最大前綴和和0的最大值，問全排列的 f 之和

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解題思路

可以問題轉(zhuǎn)換到平面圖上，把1看作往上走，-1看作往下走

那么問題就變成了求 (0,0) 到 (n+m,n-m) 所有路徑的y坐標(biāo)最大值之和

可以考慮枚舉最大y坐標(biāo)，然后求方案數(shù)

先考慮如何強(qiáng)制經(jīng)過 y=i 這條線，即到達(dá)這個(gè)高度（如果起點(diǎn)終點(diǎn)在這條線的異側(cè)就不用操作了）

可以把 (0,0) 關(guān)于 y=i 對(duì)稱，把 (0,2i) 走到 (n+m,n-m) 的路徑后把 (0,2i) 到第一個(gè)經(jīng)過 y=i 的點(diǎn)這段路徑對(duì)稱回來，就得到了一條強(qiáng)制經(jīng)過 y=i 的路徑，但是可能過了 y=i，容斥以下即可

綜上方案數(shù)為
$$S=?\begin{array}{c}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+m}{n}\right)(i\le n)\\ \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+m}{n?i}\right)(i>n)\end{array}$$

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code

#include<cstdio> #include<cstring> #include<iostream> #include<algorithm> #define ll long long #define mod 998244853 #define N 100000 using namespace std; ll ans,n,m,q[N],qpr[N],pr[N]; ll C(ll n,ll m) {return pr[n]*qpr[n-m]%mod*qpr[m]%mod; } ll get(ll k) {if(k<=n-m)return C(n+m,n);else return C(n+m,n-k); } int main() {scanf("%lld%lld",&n,&m);qpr[0]=pr[0]=q[1]=qpr[1]=pr[1]=1;for(int i=2;i<=n+m;++i){q[i]=mod-mod/i*q[mod%i]%mod;qpr[i]=qpr[i-1]*q[i]%mod;;pr[i]=pr[i-1]*i%mod;}for(int i=1;i<=n;++i)(ans+=(get(i)-get(i+1)+mod)%mod*i%mod)%=mod;printf("%lld",ans);return 0; }

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的【数学】Natasha, Sasha and the Prefix Sums（CF1204E）的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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