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目錄

• • • 概念
    • EK算法
    • Dinic算法

概念

yxc老師的部分總結

基本概念
1.1 流網絡，不考慮反向邊
1.2 可行流，不考慮反向邊
1.2.1 兩個條件：容量限制、流量守恒
1.2.2 可行流的流量指從源點流出的流量 - 流入源點的流量
1.2.3 最大流是指最大可行流
1.3 殘留網絡，考慮反向邊，殘留網絡的可行流f’ + 原圖的可行流f = 原題的另一個可行流
1.4 增廣路徑
1.5 割
1.5.1 割的定義
1.5.2 割的容量，不考慮反向邊，“最小割”是指容量最小的割。
1.5.3 割的流量，考慮反向邊，f(S, T) <= c(S, T)
1.5.4 對于任意可行流f，任意割[S, T]，|f| = f(S, T)
1.5.5 對于任意可行流f，任意割[S, T]，|f| <= c(S, T)
1.5.6 最大流最小割定理
(1) 流f是最大流
(2) 流f的殘留網絡中不存在增廣路
(3) 存在某個割[S, T]，|f| = c(S, T)
1.6. 算法
1.6.1 EK O(nm^2)
1.6.2 Dinic O(n^2m)
1.7 應用
1.7.1 二分圖
(1) 二分圖匹配
(2) 二分圖多重匹配
1.7.2 上下界網絡流
(1) 無源匯上下界可行流
(2) 有源匯上下界最大流
(3) 有源匯上下界最小流
1.7.3 多源匯最大流

EK算法

鏈式前向星初始化-1版本 0正邊 1反邊
S源點 T匯點
d[]流量 pre[]前向邊

存圖存的是殘留網絡
時間復雜度：$O(n{m}^2)$

constexpr int N=1010,M=20010; int h[N],e[M],ne[M],f[M],idx; int n,m; int S,T,flow[N],pre[N]; bool st[N]; void add(int a,int b,int c) {e[idx]=b,f[idx]=c,ne[idx]=h[a],h[a]=idx++;e[idx]=a,f[idx]=0,ne[idx]=h[b],h[b]=idx++; } bool bfs() {queue<int> q;memset(flow,0x3f,sizeof flow);memset(st,0,sizeof st);q.push(S);st[S]=1;while(q.size()){int u=q.front();q.pop();for(int i=h[u];i!=-1;i=ne[i]){int v=e[i];if(f[i]&&!st[v]){st[v]=1;flow[v]=min(flow[u],f[i]);pre[v]=i;if(v==T) return 1;q.push(v);}}}return 0; } int EK() {int ans=0;while(bfs()){ans+=flow[T];for(int i=T;i!=S;i=e[pre[i]^1]){f[pre[i]]-=flow[T];f[pre[i]^1]+=flow[T];}}return ans; }

Dinic算法

模擬隊列
時間復雜度：$O(n^{2}m)$

int h[N],e[M],ne[M],f[M],idx; int S,T,d[N],q[N],cur[N]; void add(int a,int b,int c) {e[idx]=b,ne[idx]=h[a],f[idx]=c,h[a]=idx++;e[idx]=a,ne[idx]=h[b],f[idx]=0,h[b]=idx++; } bool bfs() {memset(d,-1,sizeof d);int hh=0,tt=0;d[S]=0,cur[S]=h[S],q[0]=S;while(hh<=tt){int u=q[hh++];for(int i=h[u];i!=-1;i=ne[i]){int v=e[i];if(d[v]==-1&&f[i]){d[v]=d[u]+1;cur[v]=h[v];// 當前弧優化if(v==T) return 1;q[++tt]=v;}}}return 0; } int dfs(int u=S,int flow=0x3f3f3f3f) {if(u==T) return flow;int rmn=flow;for(int &i=cur[u];i!=-1&&rmn;i=ne[i]){int v=e[i];if(d[v]==d[u]+1&&f[i]){int t=dfs(v,min(f[i],rmn));if(!t) d[v]=-1;// 優化f[i]-=t,f[i^1]+=t,rmn-=t;}}return flow-rmn; } int dinic() {int r=0;while(bfs()) r+=dfs();return r; }

總結

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