F. Pairs of Paths

syksykCCC題解
iamhpp題解
首先說(shuō)明，下面圖片來(lái)自第一篇博客，下面代碼照抄第二篇博客
對(duì)沒(méi)有啥是自己寫的（因?yàn)槲姨藒~

從上圖可以看出兩條鏈只有一個(gè)交點(diǎn)可能有兩種情況

• 交點(diǎn)是兩條鏈的LCA
• 交點(diǎn)是一條鏈的LCA而不是另一條

這兩種情況的公共點(diǎn)就是：交點(diǎn)一定是一條鏈的LCA，因此我們從LCA考慮計(jì)數(shù)

對(duì)于第一種情況，如果存在一條鏈$x_0?y_0$與$x?y$滿足條件，一定有$LCA(x_0,y_0)=LCA(x,y)$并且$x,y,x_0,y_0$分別處在$lca$的4棵子樹中。
首先每次考慮相同LCA的鏈，因而第一個(gè)條件滿足，第二個(gè)條件我們每條鏈記錄$x$處于lca的$a$子樹中，而$y$處于lca的$b$子樹中，也就是如果lca是$x$的$k$級(jí)祖先，那么$a$是$x$的$k?1$級(jí)祖先（倍增跳一下即可）鏈的情況，把$a$設(shè)為$?1$

有了上面信息，我們考慮一條鏈$x?y$，那些和它LCA相同的鏈$x_0?y_0$對(duì)答案有貢獻(xiàn)當(dāng)且僅當(dāng)$a,b,a_0,b_0$是4個(gè)不同的值，這可以用容斥原理計(jì)算

對(duì)于第二種情況，對(duì)于上圖考慮$A_1?A_2$這條鏈存在多少條像$B_1?B_2$的鏈，首先不難發(fā)現(xiàn)$B_1?B_2$的LCA的深度一定嚴(yán)格小于$A_1?A_2$的LCA，也就是如果想要和$A_1?A_2$配對(duì)對(duì)答案產(chǎn)生貢獻(xiàn)，那么其鏈的LCA深度一定較小，因此考慮按照LCA深度排序依次處理。

每次只需要統(tǒng)計(jì)LCA子樹中有多少像$B_1$這樣的點(diǎn)（在LCA的子樹中并且不與$A_1,A_2$在同一子樹）找個(gè)支持單點(diǎn)修改子樹查詢的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)即可，這里用dfs序+樹狀數(shù)組統(tǒng)計(jì)。

#define IO ios::sync_with_stdio(false);cin.tie();cout.tie(0) #pragma GCC optimize(2) #include<map> #include<vector> #include<cstring> #include<iostream> #include<algorithm> using namespace std; using ll=long long; using pii=pair<int,int>; constexpr int N=300010; int h[N],e[2*N],ne[2*N],idx; void add(int a,int b){e[idx]=b,ne[idx]=h[a],h[a]=idx++;} int n,m; int dep[N],fa[N][21],dfn[N],sz[N],timestamp; void dfs(int u) {dfn[u]=++timestamp;sz[u]=1;for(int i=h[u];i!=-1;i=ne[i]){int v=e[i];if(v==fa[u][0])continue;dep[v]=dep[u]+1;fa[v][0]=u;for(int k=1;k<=20;k++)fa[v][k]=fa[fa[v][k-1]][k-1];dfs(v);sz[u]+=sz[v];} } int lca(int u,int v) {if(dep[u]<dep[v]) swap(u,v);for(int k=20;k>=0;k--)if(dep[fa[u][k]]>=dep[v]) u=fa[u][k];if(u==v) return u;for(int k=20;k>=0;k--)if(fa[u][k]!=fa[v][k]) u=fa[u][k],v=fa[v][k];return fa[u][0]; } int up(int u,int d)// 從u向上跳d步 {if(d<=0) return u;for(int k=20;k>=0;k--)if(d>>k&1) u=fa[u][k];return u; } struct node {int x,y,a,b,lca; }q[N]; int fw[N]; int lowbit(int x){return x&-x;} void update(int k,int x){for(;k<=n;k+=lowbit(k)) fw[k]+=x;} int query(int k){int res=0;for(;k;k-=lowbit(k)) res+=fw[k];return res;}int main() {IO;cin>>n;memset(h,-1,sizeof h);for(int i=1;i<n;i++){int u,v;cin>>u>>v;add(u,v),add(v,u);}dep[1]=1;dfs(1);cin>>m;for(int i=1;i<=m;i++){int x,y;cin>>x>>y;int anc=lca(x,y);int a=up(x,dep[x]-dep[anc]-1),b=up(y,dep[y]-dep[anc]-1);if(a==anc) a=-1;if(b==anc) b=-1;if(a>b) swap(a,b),swap(x,y);q[i]={x,y,a,b,anc};}sort(q+1,q+1+m,[](const node &i,const node&j){if(dep[i.lca]!=dep[j.lca]) return dep[i.lca]<dep[j.lca];return i.lca<j.lca;});ll ans1=0,ans2=0;for(int i=1;i<=m;i++){map<pii,int> f;map<int,int> cnt;int j=i;while(j<=m&&q[j].lca==q[i].lca) j++;//lca相同的一起統(tǒng)計(jì)for(int k=i;k<j;k++){int x=q[k].x,y=q[k].y,a=q[k].a,b=q[k].b,anc=q[k].lca;ans1+=k-i-cnt[a]-cnt[b]+f[{a,b}];if(a!=-1) cnt[a]++;if(b!=-1) cnt[b]++;if(a!=-1&&b!=-1) f[{a,b}]++;}i=j-1;}for(int i=1;i<=m;i++){int j=i;while(j<=m&&dep[q[j].lca]==dep[q[i].lca]) j++;//深度相同的一起統(tǒng)計(jì)for(int k=i;k<j;k++){int x=q[k].x,y=q[k].y,a=q[k].a,b=q[k].b,anc=q[k].lca;ans2+=query(dfn[anc]+sz[anc]-1)-query(dfn[anc]-1);if(a!=-1) ans2-=query(dfn[a]+sz[a]-1)-query(dfn[a]-1);if(b!=-1) ans2-=query(dfn[b]+sz[b]-1)-query(dfn[b]-1);}for(int k=i;k<j;k++) update(dfn[q[k].x],1),update(dfn[q[k].y],1);i=j-1;}cout<<ans1+ans2<<'\n'; }

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的codeforces1486 F. Pairs of Paths（倍增+树上数数）的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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