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编程问答

线性代数（矩阵、高斯、线性基……）

發布時間：2023/12/3 编程问答 68 豆豆

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了线性代数（矩阵、高斯、线性基……）小編覺得挺不錯的,現在分享給大家,幫大家做個參考.

矩陣

矩陣加法：

相同位置相加。

矩陣乘法：

滿足分配率、結合律，不滿足交換律(矩陣與逆矩陣之間除外) 。

矩陣轉置：

記矩陣為 \(A\) ，則 \(A\) 的轉置記為 \(A^T\) 。

性質：

\[{(A^T)}^T=A \]
\[{(A+B)}^T=A^T+B^T \]
\[{(k\times A)}^T=k\times A^T \]
\[{(AB)}^T=A^TB^T \]

矩陣求逆：

P4783 【模板】矩陣求逆

\[\begin{bmatrix}2&-1&0&1&0&0\\-1&2&-1&0&1&0\\0&-1&2&0&0&1\end{bmatrix} \]

對左半邊的矩陣做高斯消元，同時更新右半邊的部分，(交換時也一起交換，但最終不用再換回來了)。而做完之后的右半邊部分就是求得的逆矩陣。

矩陣快速冪：

對于不含常數項的遞推式：(比較正常的矩陣快速冪)
對于含有常數項的遞推式：加上一維，在轉移矩陣中不更改。
對于含有關于 \(n^1\) 的遞推式：加上兩維，每次后一位給前一位加一。
對于含有關于 \(n^k\) 的遞推式：加上 \(k+1\) 維，例：

\[f[n]=2\times f[n-1]+n^k \]\[\Downarrow \]\[\begin{bmatrix}s[n]&n^k&n^{k-1}&\cdots&n^0\end{bmatrix}\times\begin{bmatrix}2&0&0&0&\cdots&0\\C_k^0&C_k^0&0&0&\cdots&0\\C_k^1&C_k^1&C_{k-1}^0&0&\cdots&0\\C_k^2&C_k^2&C_{k-1}^1&C_{k-2}^0&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\C_k^k&C_k^k&C_{k-1}^{k-1}&C_{k-2}^{k-2}&\cdots&C_0^0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}s[n+1]&{(n+1)}^k&{(n+1)}^{k-1}&\cdots&{(n+1)}^0\end{bmatrix} \]

注意：！！

由于轉移矩陣與答案舉證的大小不同，應該在 struct 的矩陣中記錄這個矩陣的大小，防止將 \(O(n^2)\) 變為 \(O(n^3)\) ！！！

高斯消元

復雜度(樸素)： \(O(n^3)\)

主要代碼：

scanf("%d",&n); for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=n+1;j++) scanf("%lf",&a[i][j]); for(int i=1,Max=1;i<=n;Max=++i) {for(int s=i+1;s<=n;s++) if(fabs(a[s][i])>fabs(a[Max][i])) Max=s; // 找出絕對值最大的 for(int j=1;j<=n+1;j++) swap(a[i][j],a[Max][j]);if(a[i][i]<10e-8 && a[i][i]>-10e-8) { p=false; break; } // 記得 double 的精度問題 for(int s=1;s<=n;s++) if(s!=i) // 這樣省去了第二步處理的麻煩 {double tmp=0-(a[s][i]/a[i][i]);a[s][i]=0;for(int j=i+1;j<=n+1;j++) a[s][j]+=tmp*a[i][j];} } if(p) for(int i=1;i<=n;i++) printf("%.2lf\n",a[i][n+1]/a[i][i]); else printf("No Solution\n");

線性基

線性基為一個數集構造出來的新數集，滿足以下性質：

線性基的元素能相互異或得到原集合的元素的所有相互異或得到的值。
線性基是滿足性質 \(1\) 的最小的集合。
線性基沒有異或和為 \(0\) 的子集。
線性基中不同的異或組合異或出的數都是不一樣的。
線性基中每個元素的二進制最高位互不相同。

用處：

快速查詢一個數是否可以被一堆數異或出來
快速查詢一堆數可以異或出來的最大 \(/\) 最小值
快速查詢一堆數可以異或出來的第 \(k\) 大值

處理線性基：

void Insert(ll x) {for(int i=62;i>=0;i--){if(!(x & (1ll<<(ll)i))) continue; // 防止對高位影響 if(!p[i]) { p[i]=x; break; }x^=p[i]; // 更新 [0,i-1] 位的更優答案 }if(!x) zero=1ll; // 特判 0 }

查詢一個元素是否可以被異或出來：

bool ask(ll x) {for(int i=62;i>=0;i--) if(x&(1ll<<(ll)i)) x^=p[i];return x==0; }

查詢異或最大值：

ll query_max() {ll ret=0;for(int i=62;i>=0;i--) if((ans^p[i])>ans) ans^=p[i];return ans; }

查詢異或最小值：

ll query_min() {for(int i=0;i<=62;i++) if(p[i]) return p[i];return 0; }

查詢異或第 \(k\) 小：

void rebuild() {// 重建 d 數組，求出哪些位可以被異或為 1// d[i] 只有第 i 個二進制位為 1 for(int i=62;i>=1;i--) // 從高到低防止后效性 for(int j=i-1;j>=0;j--)if(p[i] & (1ll<<(ll)j)) p[i]^=p[j];for(int i=0;i<=62;i++) if(p[i]) d[cnt++]=p[i]; } ll kth(ll k) {if(!k) return 0ll; // 特判 0 if(k>=(1ll<<(ll)cnt)) return -1ll; // k 大于可以表示出的數的個數 ll ret=0;for(int i=62;i>=0;i--) if(k & (1ll<<(ll)i)) ret^=d[i];return ret; }

變式：

O(logn) 求區間異或最大值：

P3292 [SCOI2016]幸運數字

題意：給定一棵樹，求 \(x\) 到 \(y\) 路徑的異或最大值。

用 \(p[x][]\) 表示點 \(x\) 到根之間所有點的線性基，同時維護 \(pos[x][]\) 表示這一線性基由哪一個點轉移而來。

在 \(\text{Dfs}\) 加入一個新的點時，貪心將貢獻相同或更高，且深度更大的點代替原來線性基中的值。

這樣查詢的時候就能在 \(O(\log_{2} n)\) 復雜度內求出在點 \(x\) 到 \(Lca\) 路徑中的點的最大異或和(更深的點已經加入線性基)。

完整代碼

CF1100F Ivan and Burgers

題意：求出序列中 \(l\) 到 \(r\) 的區間最大異或和。

和上一題差不多，將維護更深的點轉化為維護更靠后的點即可。

完整代碼

線性基還可以推廣至非二進制的情況。

P3265 [JLOI2015]裝備購買

這里需要維護一個 \(k\) 進制的線性基