正題

luogu題目鏈接:https://www.luogu.org/problemnew/show/P4193

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題目大意

定義一個函數$D(x)$和$S(x)$，$S(x)$表示$x$的各位之和
$$D(n)=?\begin{array}{c}\\ D(S(n)),S\ge 10\\ S(n)\\ \end{array}$$
求$L～R$之間有多個$x$滿足$x=D(k)?k$

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解題思路

因為$(n?S(n))mod9=0$,所以$D(n)=(n?1)mod9+1$
$$22680modx=0(x\in [1..9])$$
若一個數$n=D(k)?k$，那么$n+22680=(k+\frac{22680}{D(k)})?D(k)$
證明:

$$(k+\frac{22680}{D(k)})?D(k)?k?D(k)=22680$$
$$(k+\frac{22680}{D(k)}?k)?D(k)=22680$$
$$(k+\frac{22680}{D(k)}?k)?D(k)=22680$$
$$k?D(k)+22680?k?D(k)=22680$$
$$22680=22680$$
證畢

然后之間根據循環節預處理$1～22680$的就好了

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$code$

#include<cstdio> #define LCM 22680 #define ll long long using namespace std; ll n,f[1000000],ans; ll D(ll x) {return (x-1)%9+1;} ll ask(ll x)//1~x的個數 {return x/LCM*ans+f[x%LCM];} int main() {scanf("%lld",&n);for(ll i=1;i<=LCM;i++)//預處理{for(ll j=1;j<=9;j++)if(D(i/j)==j&&i%j==0){f[i]=1;ans++;break;}f[i]+=f[i-1];}while(n--){ll l,r;scanf("%lld%lld",&l,&r);printf("%lld\n",ask(r)-ask(l-1));} }

總結

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