正題

題目鏈接:http://www.51nod.com/Challenge/Problem.html#problemId=1220

---

題目大意

給出$n$，求$$\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n\sigma (i?j)$$
其中$\sigma$表示約數(shù)和。

---

解題思路

首先有結論$$\sigma (i?j)=\sum _{x|i}\sum _{y|j}[gcd(x,y)==1]\frac{x}{y}j$$
大概是枚舉兩個約數(shù)的占比。
$$\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n\sum _{x|i}\sum _{y|i}[gcd(x,y)==1]\frac{x}{y}j$$
這里就直接上反演了
$$\sum _{d=1}^n\mu (d)\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n\sum _{x|i}\sum _{y|i}[d|gcd(x,y)]\frac{x}{y}j$$
$$\sum _{d=1}^n\mu (d)\sum _{x|d}\sum _{y|d}\frac{x}{y}\sum _{x|i}\sum _{y|j}j$$
$$\sum _{d=1}^n\mu (d)\sum _{x|d}\sum _{y|d}\frac{x}{y}y\frac{(?\frac{n}{y}?+1)?\frac{n}{y}??\frac{n}{x}?}{2}$$
$$\sum _{d=1}^n\mu (d)\sum _{x|d}?\frac{n}{x}?x\sum _{y|d}\frac{(?\frac{n}{y}?+1)?\frac{n}{y}?}{2}$$
$$\sum _{d=1}^n\mu (d)d\sum _{x=1}^{?\frac{n}{d}?}?\frac{n}{xd}?x\sum _{y=1}^{?\frac{n}{d}?}\frac{(?\frac{n}{yd}?+1)?\frac{n}{yd}?}{2}$$
前面那個${\sum }_{d=1}^n\mu (d)d$可以杜教篩來求，卷上一個$id$之后${\sum }_{d|n}\mu (d)?d?\frac{n}{d}=n{\sum }_{d|n}\mu (d)$就是$?$了。

考慮如何求后面那兩個，第一個我們把它化簡一下$$\sum _{i=1}^n\frac{(?\frac{n}{i}?+1)?\frac{n}{i}?}{2}=\sum _{i=1}^{n}i?\frac{n}{i}?$$
就和前面那個式子一樣了，對于這個式子，我們可以理解為枚舉每個數(shù)作為約數(shù)的次數(shù)，那么就有$$\sum _{i=1}^{n}i?\frac{n}{i}?=\sum _{i=1}^n\sigma (i)$$

這樣我們就可以線性篩出比較小時的答案，然后比較大的時候就直接整除分塊搞就好了。

---

$code$

#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #include<map> #define ll long long using namespace std; const ll N=2e6,P=1e9+7; ll n,cnt,low[N],pre[N],mu[N],pri[N],s[N]; map<ll ,ll > mark;bool v[N]; void Prime(){mu[1]=s[1]=1;for(ll i=2;i<N;i++){if(!v[i])s[i]=i+1,mu[i]=-i,low[i]=i,pri[++cnt]=i;for(ll j=1;j<=cnt&&i*pri[j]<N;j++){v[i*pri[j]]=1;if(i%pri[j]==0){low[i*pri[j]]=low[i]*pri[j];s[i*pri[j]]=(s[i]*pri[j]+s[i/low[i]])%P;break;}low[i*pri[j]]=pri[j];s[i*pri[j]]=s[i]*s[pri[j]]%P;mu[i*pri[j]]=mu[i]*mu[pri[j]];}}for(ll i=1;i<N;i++)mu[i]=(mu[i]+mu[i-1])%P,s[i]=(s[i-1]+s[i])%P;return; } ll Get_Mu(ll n){if(n<N)return mu[n];if(mark[n])return mark[n];ll ans=1;for(ll l=2,r;l<=n;l=r+1){r=n/(n/l);ans=(ans-Get_Mu(n/l)*(r*(r+1)/2-l*(l-1)/2)%P)%P;}return mark[n]=(ans+P)%P; } ll Get_Sum(ll n){if(n<N)return s[n];ll ans=0;for(ll l=1,r;l<=n;l=r+1){r=n/(n/l);ans=(ans+(n/l)*(r*(r+1)/2-l*(l-1)/2)%P)%P;}return (ans+P)%P; } int main() {Prime();scanf("%lld",&n);ll ans=0;for(ll l=1,r;l<=n;l=r+1){r=n/(n/l);ll tmp=Get_Sum(n/l);tmp=tmp*tmp%P;ans=(ans+(Get_Mu(r)-Get_Mu(l-1))*tmp%P)%P;}printf("%lld",(ans+P)%P); }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的51nod1220-约数之和【莫比乌斯反演,杜教筛】的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網(wǎng)站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。