正題

題目鏈接:https://loj.ac/p/116

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題目大意

$n$個點$m$條邊的一張圖，每條邊有流量上下限制，求源點到匯點的最大流。

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解題思路

先別急著求上面那個，考慮一下怎么求無源點匯點的上下界可行流。

可以考慮先把下限流滿，這樣就會出現有的點流量不均衡的問題，考慮每個點除了下限以外還有附加流量，這些附加流量會最多占能每條邊$r?l$這么多的流量，可以先建立一張每條流量都是$r?l$的圖。

定義一個點的$d_i$為該點的入度減去出度（流入的流量減去流出的流量），然后對于一個點如果它的$d_i$大于$0$，那么它需要向其他點補充流量，建立一個超級源點$S$向它連邊，流量為$d_i$。同理如果一個點的$d_i$小于$0$就連向超級匯點$T$。

這樣就搞定了無源點匯點的上下界可行流問題了。

然后考慮有源匯點$s,t$怎么辦，那么也就是$t$可以無限接受，$s$可以無限輸送。那么如果$t$向$s$連一條$inf$的邊，那么就可以保證$s,t$的功能又能保證流量守恒了。
之后直接和無源點匯點的一樣做就好了。

然后要求最大流，先跑一次有沒有可行的再考慮流量能夠浮動的范圍，此時我們需要在剛剛的殘量網絡上找從$s$到$t$的增廣路來增大$s$到$t$的流量，那么刪掉剛剛$t?>s$的邊然后跑$s?>t$的最大流就好了。

最小流的話就是從$t?>s$跑最大流

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code

#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #include<queue> using namespace std; const int N=210,inf=1e9; struct node{int to,next,w; }a[41000]; int n,m,tot,in[N],out[N],d[N]; int ls[N],cur[N],dep[N]; queue<int> q; void addl(int x,int y,int w){a[++tot].to=y;a[tot].next=ls[x];ls[x]=tot;a[tot].w=w;a[++tot].to=x;a[tot].next=ls[y];ls[y]=tot;a[tot].w=0;return; } bool bfs(int s,int t){while(!q.empty())q.pop();q.push(s);memset(dep,0,sizeof(dep));dep[s]=1;for(int i=1;i<=t;i++)cur[i]=ls[i];while(!q.empty()){int x=q.front();q.pop();for(int i=ls[x];i;i=a[i].next){int y=a[i].to;if(dep[y]||!a[i].w)continue;q.push(y);dep[y]=dep[x]+1;if(y==t)return 1;}}return 0; } int dinic(int x,int flow,int t){if(x==t)return flow;int rest=0,k;for(int &i=cur[x];i;i=a[i].next){int y=a[i].to;if(dep[x]+1!=dep[y]||!a[i].w)continue;rest+=(k=dinic(y,min(flow-rest,a[i].w),t));a[i].w-=k;a[i^1].w+=k;if(rest==flow)return rest;}if(!rest)dep[x]=0;return rest; } int main() {int ans=0,sum=0,s,t,S,T;scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&S,&T);s=n+1;t=s+1;tot=1;for(int i=1;i<=m;i++){int x,y,l,u;scanf("%d%d%d%d",&x,&y,&l,&u);addl(x,y,u-l);d[y]+=l;d[x]-=l;}for(int i=1;i<=n;i++)if(d[i]>0)addl(s,i,d[i]),sum+=d[i];else addl(i,t,-d[i]);addl(T,S,inf);while(bfs(s,t))ans+=dinic(s,inf,t);if(ans!=sum)return puts("please go home to sleep");ans=a[tot].w;a[tot].w=a[tot^1].w=0;while(bfs(S,T))ans+=dinic(S,inf,T);printf("%d\n",ans); }

總結

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