正題

題目鏈接:https://www.luogu.com.cn/problem/P6222

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題目大意

給出$k$，$T$組詢問給出$n$求
$$\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n(i+j{)}^k\times gcd(i,j)\times \mu (gcd(i,j){)}^2$$

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解題思路

開始忘記了$k$次冪能線性篩后面全推錯了，既然可以線性篩$k$次冪就把$gcd(i,j)$提到前面來。
$$\sum _{d=1}^n\mu (d{)}^{2}d\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n[gcd(i,j)=d](i+j{)}^k$$
這里有一個比較巧妙的思路就是，可以把$\mu (d{)}^{2}d$提前莫反之后一起套進莫反里。
設有
$$\sum _{d|n}g(d)=\mu (n{)}^{2}n?g(n)=\sum _{d|n}\mu (\frac{n}{d})\mu (d{)}^{2}d$$
然后莫反原式就有一個比較簡單的式子了
$$\sum _{d=1}^{n}g(d)d^k\sum _{i=1}^{?\frac{n}{d}?}\sum _{j=1}^{?\frac{n}{d}?}(i+j{)}^k$$
設$S(n)={\sum }_{i=1}^n{\sum }_{j=1}^n(i+j{)}^k$，這個東西是可以線性預處理的。

先預線性篩+前綴和處理出$s(n)={\sum }_{i=1}^n{i}^k$，就有$S(n)=\left({\sum }_{i=n+1}^{2n}s(i)\right)?\left({\sum }_{i=1}^{n}s(i)\right)$，再用一個前綴和就好了。

然后就有式子
$$\sum _{d=1}^{n}g(d)d^{k}S(?\frac{n}{d}?)$$
這個知道怎么篩$g(d)d^k$之后好像就可以$O(T\sqrt{n})$做了？發現$g$里面有個$n$還是很難搞。
然后可以一頓操作把下取整搞掉，設$S^{\prime }(x)=S(x)?S(x?1)$，那么就有
$$\sum _{d=1}^{n}g(d)d^k\sum _{i=1}^{?\frac{n}{d}?}{S}^{\prime }(i)$$
然后把$i$提出來就有
$$\sum _{i=1}^n\sum _{d|i}g(d)d^k{S}^{\prime }(\frac{n}{d})$$
然后就會發現這是兩個函數狄利克雷卷積的前綴和？
$f(n)=g(n)n^k=n^k{\sum }_{d|n}\mu (\frac{n}{d})\mu (d{)}^{2}d$是積性函數，所以我們可以用埃氏篩的方法來快速搞這個東西。

首先我們需要知道對于一個質數$p$，$f(p^e)$如何快速計算。
這里是有結論的

• 若$e=0$則$f(p^0)=f(1)=1$
• 若$e=1$則$f(p^1)=p\times (1\times \mu (1{)}^2\mu (p)+p\times \mu (1)\mu (p{)}^2)=p(p?1)$
• 若$e=2$則$f(p^2)=p^2\times (\mu (p^2)\mu (1{)}^2+\mu (p)\mu (p{)}^{2}p+\mu (1)\mu (p^2{)}^2{p}^2)=?p^2$
• 若$e\ge 3$那么若$\mu (d)=0$那么一定有$\mu (\frac{n}{d})=0$，所以$f(p^e)=0$

然后就可以開始做了，怎么快速計算狄利克雷卷積？埃氏篩給過我們方法，對于一個積性函數$f$，我們可以拆成若干個$f_p$滿足
$$f_p(x)=[p^e=x]f(x)(p\in Pri)$$
（$Pri$是質數集）

然后有$f={\prod }_{p\in Pri}{f}_p$（乘法表示狄利克雷積）

所以把所有的$f_p$乘到$S^{\prime }$里去就好了，這個是枚舉所有質數的倍數來搞的，時間復雜度$O(n\log \log n)$

所以總共的時間復雜度就是$O(T+n\log \log n)$

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code

#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #define uit unsigned int using namespace std; const int N=2e7+10; int t,n,k,cnt; uit pri[N],pw[N],s[N]; bool v[N]; uit power(uit x,int b){uit ans=1;while(b){if(b&1)ans=ans*x;x=x*x;b>>=1;}return ans; } void init(){s[1]=1;for(int i=2;i<=n*2;i++){if(!v[i])pri[++cnt]=i,s[i]=power(i,k);for(int j=1;j<=cnt&&i*pri[j]<=n*2;j++){v[i*pri[j]]=1;s[i*pri[j]]=s[i]*s[pri[j]];if(i%pri[j]==0)break;}}for(int i=1;i<=n*2;i++)pw[i]=s[i],s[i]=s[i-1]+s[i];for(int i=1;i<=n;i++)s[i]=s[i*2]+s[i*2-1]-s[i]*2;for(int j=1;j<=cnt&&pri[j]<=n;j++)for(int x=pri[j],i=n/x;i>=1;i--){s[i*x]+=s[i]*(x-1)*pw[x];if(i%x==0)s[i*x]-=s[i/x]*x*pw[x]*pw[x];}for(int i=1;i<=n;i++)s[i]+=s[i-1];return; } int main() {scanf("%d%d%d",&t,&n,&k);init();while(t--){scanf("%d",&n);printf("%u\n",s[n]);}return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的P6222-「P6156 简单题」加强版【莫比乌斯反演】的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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