正題

題目鏈接:https://www.luogu.com.cn/problem/CF917D

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題目大意

給出$n$個點的一棵樹，對于每個$k$求有多少個$n$個點的樹滿足與給出的樹恰好有$k$條邊重合。

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解題思路

矩陣樹有一個統(tǒng)計所有樹邊權和的和用法，就是把變量變成一個形如$wx+1$的多項式，這樣一次項系數(shù)的值就表示了固定選擇一條邊的$w$時其他邊的方案數(shù)之和。

這題我們可以同理，對于在給出數(shù)上的邊是$x$，而其他就是$1$。那么最后詢問$x^k$的系數(shù)就是答案了。

如果暴力套$\text{NTT}$不僅麻煩，而且跑的很慢過不了本題，考慮另一種求系數(shù)的方法。

我們假設答案是一個形如$F(x)={\sum }_{i=0}^{n?1}{a}_i{x}^i$的$n$次項式，那么我們如果把$n$個$x$的值直接帶入求出$F$，然后用待定系數(shù)法的話我們就可以列出$n$個方程從而解出這個$n$項式的每一個系數(shù)。

時間復雜度$O(n^4)$

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code

#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #define ll long long using namespace std; const ll N=110,P=1e9+7; ll n,x[N],y[N]; ll power(ll x,ll b){ll ans=1;while(b){if(b&1)ans=ans*x%P;x=x*x%P;b>>=1;}return ans; } namespace Guass{ll a[N][N],b[N];void solve(){for(ll i=1;i<=n;i++){ll z=i;for(ll j=i;j<=n;j++)if(a[j][i]){z=j;break;}swap(a[i],a[z]);swap(b[i],b[z]);ll inv=power(a[i][i],P-2);for(ll j=i;j<=n;j++)a[i][j]=a[i][j]*inv%P;b[i]=b[i]*inv%P;for(ll j=i+1;j<=n;j++){ll rate=P-a[j][i];for(ll k=i;k<=n;k++)(a[j][k]+=rate*a[i][k]%P)%=P;(b[j]+=rate*b[i]%P)%=P;}}for(ll i=n;i>=1;i--){for(ll j=i+1;j<=n;j++)(b[i]+=P-b[j]*a[i][j]%P)%=P;}return;} } namespace Matrix{ll a[N][N];ll det(){ll f=1,ans=1;for(ll i=1;i<n;i++){ll z=i;for(ll j=i;j<n;j++)if(a[j][i]){if(j!=i)f=-f;z=j; break;}swap(a[i],a[z]);ll inv=power(a[i][i],P-2);ans=ans*a[i][i]%P;for(ll j=i;j<n;j++)a[i][j]=a[i][j]*inv%P;for(ll j=i+1;j<n;j++){ll rate=P-a[j][i];for(ll k=i;k<n;k++)(a[j][k]+=rate*a[i][k]%P)%=P;}}return ans*f;}void solve(ll w){for(ll i=1;i<=n;i++)for(ll j=1;j<=n;j++)a[i][j]=P-1;for(ll i=1;i<=n;i++)a[i][i]=n-1;for(ll i=1;i<n;i++){a[x[i]][x[i]]+=w-1;a[y[i]][y[i]]+=w-1;a[x[i]][y[i]]=P-w;a[y[i]][x[i]]=P-w;}Guass::b[w]=det();for(ll i=1,p=1;i<=n;i++,p=p*w%P)Guass::a[w][i]=p;return;} } signed main(){scanf("%lld",&n);for(ll i=1;i<n;i++)scanf("%lld%lld",&x[i],&y[i]);for(ll i=1;i<=n;i++)Matrix::solve(i);Guass::solve();for(ll i=1;i<=n;i++)printf("%lld ",Guass::b[i]);return 0; }

總結

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