正題

題目鏈接:https://www.luogu.com.cn/problem/P4590

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題目大意

給出一個長度為$m$的字符串$s$。
對于每個$k\in [0,m]$求有多少個長度為$n$的字符串滿足與$s$的最長公共子序列長度為$k$且不包含$NOI$這一個子串。
可用字符集是$\{N,O,I\}$

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解題思路

顯然這個$NOI$的限制是很無聊的，先不管。

然后就是求最長公共子序列恰好為$k$，之前翻資料的時候看到過這題，然后$m$又只有$15$，所以可以直接$dp$套$dp$。

先考慮正常$dp$求最長公共子序列，就是設$g_{i,j}$表示第一個串匹配到$i$，第二個串匹配到$j$時的長度。那么顯然對于一個$i$來說是可以對應多個$j$的。
然后我們要在轉移$dp$的自動機上對于$i$維護每個$g_{i,j}$？

雖然$m$很小但是這個狀態還是很多，要加點優化。挖掘一下$g$數組的性質發現其實有$g_{i,j?1}\le g_{i,j}\le g_{i,j?1}+1$。所以可以狀壓一下，用$1$表示這里加了$1$，$0$表示沒有加一就可以表示出所有的狀態了。

然后先預處理出每個狀態加某個字符之后會轉移到哪個狀態$nx{t}_{s,c}$，然后設$f_{i,s}$表示現在已經有$i$個字符，$dp$數組狀態為$j$時的方案數，然后轉移就好了。

之后$NOI$那個限制多開一維來維護就好了，要滾動不然會炸。

時間復雜度$O(2^{m}n)$，然后因為要判$NOI$所以常數比較大。

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code

#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> using namespace std; const int N=1100,M=16,P=1e9+7; const int d[3][3]={{1,0,0},{1,2,0},{1,0,3}}; int n,m,f[3][1<<M][3] ,ans[M]; int a[M],g[1<<M],h[1<<M],nxt[1<<M][3]; char s[M]; int ct(int x){int ans=0;while(x)x-=(x&-x),ans++;return ans; } int main() {scanf("%d%d",&n,&m);scanf("%s",s+1);for(int i=1;i<=m;i++){if(s[i]=='O')a[i]=1;if(s[i]=='I')a[i]=2;}int MS=(1<<m);for(int s=0;s<MS;s++){for(int i=1;i<=m;i++)g[i]=g[i-1]+((s>>i-1)&1);for(int c=0;c<3;c++){for(int i=1;i<=m;i++){h[i]=max(h[i-1],g[i]);if(a[i]==c)h[i]=max(h[i],g[i-1]+1);if(h[i]>h[i-1])nxt[s][c]|=(1<<i-1);}}}f[0][0][0]=1;for(int i=1;i<=n;i++){memset(f[i&1],0,sizeof(f[i&1]));for(int s=0;s<MS;s++){for(int t=0;t<3;t++){for(int c=0;c<3;c++){if(t==2&&c==2)continue;int z=d[t][c];(f[i&1][nxt[s][c]][z]+=f[~i&1][s][t])%=P;}}}}for(int s=0;s<MS;s++)for(int t=0;t<3;t++)(ans[ct(s)]+=f[n&1][s][t])%=P;for(int i=0;i<=m;i++)printf("%d\n",ans[i]);return 0; }

總結

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