正題

題目鏈接:https://www.luogu.com.cn/problem/CF438E

---

題目大意

每個(gè)節(jié)點(diǎn)有$n$個(gè)權(quán)值可以選擇，對(duì)于$1～m$中的每個(gè)數(shù)字$k$，求權(quán)值和為$k$的二叉樹個(gè)數(shù)。

---

解題思路

設(shè)$f_n$表示權(quán)值和為$n$的方案數(shù)，$g_n$表示$n$這個(gè)權(quán)值是否可用。
那么我們對(duì)于一個(gè)$n$的轉(zhuǎn)移，可以枚舉根節(jié)點(diǎn)的權(quán)值，然后再用$f$去計(jì)算子節(jié)點(diǎn)的權(quán)值，具體的式子是
$$f_n=\sum _{w=1}^n{g}_w\sum _{i=0}^{n?w}{f}_i{f}_{n?w?i}$$
會(huì)發(fā)現(xiàn)這個(gè)三個(gè)數(shù)的下標(biāo)和就是$n$，這其實(shí)一個(gè)大卷積，設(shè)多項(xiàng)式$F[x]=f_x$和$G[x]=g_x$。那么根據(jù)上面式子就有
$$F=F^{2}G+1$$
（加1是因?yàn)?span id="ozvdkddzhkzd" class="katex--inline">$f_0=1$，然后可以解出式子）
$$F=\frac{1\pm \sqrt{1?4G}}{2G}$$
這里的$\pm$我們?nèi)∝?fù)號(hào)，因?yàn)槿≌?hào)時(shí)不滿足收斂性。

當(dāng)然我也不知道怎么判正負(fù)，但是這題發(fā)現(xiàn)$F[0]=1$但是$G[0]=1$。又有$2GF=1\pm \sqrt{1?4G}$，顯然有$(2GF)[0]=0$。但是如果取正號(hào)，那么$(1+\sqrt{1?4G})[0]\ge 1$，所以顯然不可能，只能取負(fù)。

然后可以直接上多項(xiàng)式開根和求逆做？發(fā)現(xiàn)$G[0]=0$不能求逆，只好再化一下式子變成
$$F=\frac{2}{1+\sqrt{1?4G}}$$

時(shí)間復(fù)雜度$O(n\log n)$

---

code

#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #define ll long long using namespace std; const ll N=8e5+10,P=998244353,inv2=(P+1)/2; ll n,m,a[N],b[N]; ll power(ll x,ll b){ll ans=1;while(b){if(b&1)ans=ans*x%P;x=x*x%P;b>>=1;}return ans; } namespace Poly{ll n,t1[N],t2[N],t3[N],t4[N],r[N];void GetL(ll l){n=1;while(n<=l)n<<=1;for(ll i=0;i<n;i++)r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)?(n>>1):0);return;}void NTT(ll *f,ll op){for(ll i=0;i<n;i++)if(i<r[i])swap(f[i],f[r[i]]);for(ll p=2;p<=n;p<<=1){ll len=p>>1,tmp=power(3,(P-1)/p);if(op==-1)tmp=power(tmp,P-2);for(ll k=0;k<n;k+=p){ll buf=1;for(ll i=k;i<k+len;i++){ll tt=f[i+len]*buf%P;f[i+len]=(f[i]-tt+P)%P;f[i]=(f[i]+tt)%P;buf=buf*tmp%P;}}}if(op==-1){ll invn=power(n,P-2);for(ll i=0;i<n;i++)f[i]=f[i]*invn%P;}return;}void GetInv(ll *f,ll *g,ll m){if(m==1){g[0]=power(f[0],P-2);return;}GetInv(f,g,m>>1);GetL(m);for(ll i=0;i<m;i++)t1[i]=f[i],t2[i]=g[i];for(ll i=m;i<n;i++)t1[i]=t2[i]=0;NTT(t1,1);NTT(t2,1);for(ll i=0;i<n;i++)t1[i]=t1[i]*t2[i]%P*t2[i]%P;NTT(t1,-1);for(ll i=0;i<m;i++)g[i]=(2*g[i]-t1[i]+P)%P;return;}void GetSqrt(ll *f,ll *g,ll m){if(m==1){g[0]=1;return;}GetSqrt(f,g,m>>1);for(ll i=0;i<m;i++)t3[i]=0;GetInv(g,t3,m);GetL(m<<1);for(ll i=0;i<m;i++)t4[i]=f[i];for(ll i=m;i<n;i++)t3[i]=t4[i]=0;NTT(t3,1);NTT(t4,1);for(ll i=0;i<n;i++)t3[i]=t3[i]*t4[i]%P;NTT(t3,-1);for(ll i=0;i<m;i++)g[i]=(g[i]+t3[i])*inv2%P;return;} } signed main() {scanf("%lld%lld",&n,&m);for(ll i=0;i<n;i++){ll x;scanf("%lld",&x);if(x>m)continue;a[x]=P-4;}ll l=1;a[0]++;while(l<=m)l<<=1;Poly::GetSqrt(a,b,l);memset(a,0,sizeof(a));b[0]++;Poly::GetInv(b,a,l);for(ll i=1;i<=m;i++)printf("%lld\n",a[i]*2%P);return 0; }

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的CF438E-The Child and Binary Tree【生成函数】的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網(wǎng)站內(nèi)容還不錯(cuò)，歡迎將生活随笔推薦給好友。