正題

題目鏈接:http://172.17.55.160/contest/117/problem/1

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題目大意

$n$個數的一個序列，給其中的一些數打上標記。
一個標記方案的貢獻為$s_1$表示有多少對$L,R$滿足區間$[L,R]$都被打上了標記，$s_2$表示標記的數字和。貢獻為$s_1?s_2$

$m$次詢問，修改一個數后，求最大的可能貢獻（詢問之間相互獨立）

$1\le n,m\le 3\times 10^5$

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解題思路

先把答案減去一個${\sum }_{i=1}^n{a}_i$，這樣就變為對于一段$[L,R]$要么選擇$s_1$要么選擇$s_2$
先考慮不帶修改怎么搞，設$f_i$表示前$i$個的最大貢獻。

定義$s_i={\sum }_{j=1}^i{a}_i$然后有方程
$$f_i=max\{f_j+max\{s_i?s_j,\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{i?j}{2}\right)\}\}$$
這個東西可以斜率優化搞（考場上犯病寫了個$CDQ$，調了我半天）

然后帶修改，考慮到每次只會影響一個數字，可以理解為一個前綴和后綴拼起來。把剛剛那個$dp$再反過來做一次記為$g_i$。

那么現在對于修改的位置$x$，我們要么選擇$x$，要么跨過$x$，也就是最大化
$$max\{f_j+g_i+s_{i?1}?s_j,f_j+g_i+(\genfrac{}{}{0ex}{}{i?j?1}{2})\}(i\in [0,x?1],j\in [x+1,n+1])$$
前面那個可以把兩個前/后綴的max的$f_j?s_j$和$g_i+s_{i?1}$加起來就好了。

后面那個考慮分治，我們每次分治到一個位置$[l,mid,r]$，如果需要往左走就統計$i\in [0,l?1]$和$j\in [mid+1,r]$的答案。右邊同理。

因為我們的每次的時間復雜度是外面的大小，所以我們可以維護一個前后綴的凸殼，然后在上面二分時間復雜度就是$O(n{\log }^{2}n)$的。

同時維護兩個凸殼需要回溯所以很麻煩，分開兩次正反做一次就好了。

時間復雜度$O(n{\log }^{2}n)$

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code

（考場代碼，有點丑）

#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #include<vector> #define ll long long using namespace std; const ll N=3e5+10,inf=1e18; ll n,m,ans,lmax,rmax,top,st[N],suf[N]; ll a[N],f[N],g[N],s[N],prt[N],w[N],yf[N]; vector<ll > q[N]; ll px(ll x,ll *f) {return f[x]*2+x*x-x;} ll xj(ll x1,ll y1,ll x2,ll y2) {return x1*y2-x2*y1;} ll xl(ll a,ll b,ll c,ll *f){ll y1=px(b,f)-px(a,f),x1=b-a;ll y2=px(c,f)-px(a,f),x2=c-a;return xj(x1,y1,x2,y2); } ll ck(ll l,ll r,ll *f) {return f[l]+(r-l+1)*(r-l)/2;} ll solve(ll l,ll r,ll *f){if(l==r)return f[l]-s[l];ll mid=(l+r)>>1;ll maxs=solve(l,mid,f);top=0;for(ll i=l;i<=mid;i++){while(top>1&&xl(st[top-1],st[top],i,f)>=0)top--;st[++top]=i;}for(ll i=mid+1;i<=r;i++){while(top>1&&ck(st[top],i,f)<ck(st[top-1],i,f))top--;f[i]=max(f[i],max(ck(st[top],i,f),s[i]+maxs));}maxs=max(maxs,solve(mid+1,r,f));return maxs; } ll cw(ll l,ll r) {return f[l]+g[r]+(r-l-1)*(r-l)/2;} ll xll(ll a,ll b,ll c){ll y1=(yf[b]-yf[a])*2,x1=b-a;ll y2=(yf[c]-yf[a])*2,x2=c-a;return xj(x1,y1,x2,y2); } ll xlr(ll a,ll b,ll c){ll y1=yf[b]-yf[a],x1=(n-b+1)-(n-a+1);ll y2=yf[c]-yf[a],x2=(n-c+1)-(n-a+1);return xj(x1,y1,x2,y2); } void calc(ll L,ll R){if(L==R){for(ll i=0;i<q[L].size();i++){ll x=q[L][i],tmp;prt[x]=max(ans-w[x]+a[L]-s[n],prt[x]);}while(top>1&&xll(st[top-1],st[top],L)>=0)top--;st[++top]=L;return;}ll mid=(L+R)>>1,pa=ans;if(top){for(ll i=mid+1;i<=R;i++){ll l=1,r=top-1;while(l<=r){ll x=(l+r)>>1;if(cw(st[x],i)<=cw(st[x+1],i))l=x+1;else r=x-1;}ans=max(ans,cw(st[l],i));}}calc(L,mid);ans=pa;calc(mid+1,R);return; } void cblc(ll L,ll R){if(L==R){for(ll i=0;i<q[L].size();i++){ll x=q[L][i],tmp;prt[x]=max(ans-w[x]+a[L]-s[n],prt[x]);}while(top>1&&xlr(st[top-1],st[top],L)>=0)top--;st[++top]=L;return;}ll mid=(L+R)>>1,pa=ans;if(top){for(ll i=L;i<=mid;i++){ll l=1,r=top-1;while(l<=r){ll x=(l+r)>>1;if(cw(i,st[x])<=cw(i,st[x+1]))l=x+1;else r=x-1;}ans=max(ans,cw(i,st[l]));}}cblc(mid+1,R);ans=pa;cblc(L,mid);return; } signed main() {freopen("score.in","r",stdin);freopen("score.out","w",stdout);scanf("%lld",&n);for(ll i=1;i<=n;i++)scanf("%lld",&a[n-i+1]);for(ll i=1;i<=n;i++)s[i]=s[i-1]+a[i];solve(0,n,g);for(ll i=1;i<n-i+1;i++)swap(a[i],a[n-i+1]),swap(g[i],g[n-i+1]);for(ll i=1;i<=n;i++)s[i]=s[i-1]+a[i];solve(0,n,f);scanf("%lld",&m);for(ll i=1;i<=m;i++){ll x;scanf("%lld%lld",&x,&w[i]);q[x].push_back(i);}suf[n+2]=-inf;for(ll i=n+1;i>=1;i--)suf[i]=max(suf[i+1],g[i]+s[i-1]);for(ll i=0,pre=-inf;i<=n;i++){for(ll j=0;j<q[i].size();j++){ll x=q[i][j];prt[x]=suf[i+1]+pre-s[n];}pre=max(pre,f[i]-s[i]);}ans=-inf;top=0;for(ll i=1;i<=n;i++)yf[i]=f[i]*2+i*i+i;calc(0,n+1);ans=-inf;top=0;for(ll i=1;i<=n;i++)yf[i]=g[i]*2+(n-i+1)*(n-i+1)+(n-i+1);cblc(0,n+1);for(ll i=1;i<=m;i++)printf("%lld\n",max(prt[i],0ll));return 0; }

總結

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