正題

題目鏈接:https://www.luogu.com.cn/problem/CF848E

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題目大意

$2n$個花排成一個圓環，$n$種顏色每種兩個，要求兩個相同顏色之間最小距離為$1,2$或$n$。

對于一種染色方案的權值為：刪除掉距離為$n$的顏色后，剩下的連續段長度的乘積。

求所有方案的染色之和對$998244353$取模。

$1\le n\le 50000$

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解題思路

環好像很麻煩，先考慮線段上的，現在有兩個長度為$n$的數列，然后距離為$n$的點之間對應。染色可以看為連接兩個點。

然后設$g_i$表示不使用跨越數列的連線，涂$i$個的方案數，那么有$g_i=g_{i?2}+g_{i?4}$（相鄰的連接/兩個都是隔著對方連）。

然后考慮有跨越數列的線的方案，且沒有其他連線跨過這條線，$f{0}_i$表示第$i$個是滿足條件的線的權值和。$f{1}_i$則表示剛好有一對距離為$2$的點對跨越這個線的權值和。
那么有轉移方程
$$f{0}_i=g_i{i}^2+\sum _{j=0}^{i?1}{g}_j{j}^{2}f{0}_{i?j?1}+\sum _{j=0}^{i?3}{g}_j(j+1{)}^{2}f{1}_{i?j?3}$$
（第一個是全程沒有其他橫跨邊，第二個是上一條橫跨邊兩邊沒有同色，第三個是上一條橫跨邊兩邊有同色）
同理可以得到$f1$的方程
$$f{1}_i=g_i(i+1{)}^2+\sum _{j=0}^{i?1}{g}_j(j+1{)}^{2}f{0}_{i?j?1}+\sum _{j=0}^{i?3}{g}_j(j+2{)}^{2}f{1}_{i?j?3}$$

得到$f0$和$f1$之后，看一下$f0,f1$都是最左邊沒有距離為$2$的邊越過的，但是我們轉換到環上的時候需要考慮這種情況，所以我們設$f{2}_i$表示左右兩邊的橫跨邊都有同色的，中間距離為$i$的權值和。
方程是
$$f{2}_i=g_i(i+2{)}^2+\sum _{j=0}^{i?1}{g}_j(j+1{)}^{2}f{0}_{i?j?1}+\sum _{j=0}^{j?3}{g}_j(j+2{)}^{2}f{1}_{i?j?3}$$

然后考慮轉換到行上。

如果只有一個點對距離是$n$，那么貢獻是$(n?1)$，有$n$種旋轉方法，如果這個點對兩邊沒有同色點，那么方案數是$g_{n?1}$，否則是$g_{n?3}$，所以這種情況的方案是$(n?1{)}^{2}n(g_{n?1}+g_{n?3})$

然后剩下的我們可以先固定$1～n+1$，然后枚舉第二個距離為$n$的點對。設為$i$，那貢獻就是$$i(i?1{)}^2(g_{i?1}f{0}_{n?i?1}+2g_{i?2}f{1}_{n?i?2}+g_{i?3}f{2}_{n?i?3})$$

然后前面求$f0,f1,f2$都可以用分治$NTT$搞。

時間復雜度$O(n{\log }^{2}n)$

如果用生成函數再推推可以分別得到$O(n)$和$O(n\log n)$的方法。

還有可以用生成函數發現這是一個$16$項的線性遞推式，打出前面的表再用高斯消元得到系數，可以把時間優化到$log$級別

路還很長啊

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code

#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #define ll long long using namespace std; const ll N=2e5+10,P=998244353; ll n,m,r[N],g[N],h[3][N],f[3][N]; ll t[3][N],T[2][N],z[4][N]; ll power(ll x,ll b){ll ans=1;while(b){if(b&1)ans=ans*x%P;x=x*x%P;b>>=1;}return ans; } void Glen(ll n){m=1;while(m<=n)m<<=1;for(ll i=0;i<m;i++)r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)?(m>>1):0);return; } void NTT(ll *f,ll op){for(ll i=0;i<m;i++)if(i<r[i])swap(f[i],f[r[i]]);for(ll p=2;p<=m;p<<=1){ll len=(p>>1),tmp=power(3,(P-1)/p);if(op==-1)tmp=power(tmp,P-2);for(ll k=0;k<m;k+=p){ll buf=1;for(ll i=k;i<k+len;i++){ll tt=buf*f[i+len]%P;f[i+len]=(f[i]-tt+P)%P;f[i]=(f[i]+tt)%P;buf=buf*tmp%P;}}}if(op==-1){ll inv=power(m,P-2);for(ll i=0;i<m;i++)f[i]=f[i]*inv%P;}return; } void CDQ(ll l,ll r){if(l==r){(f[0][l]+=h[0][l])%=P;(f[1][l]+=h[1][l])%=P;return;}ll mid=(l+r)>>1;CDQ(l,mid);Glen((r-l+1)*2);for(ll i=0;i<m;i++)t[0][i]=t[1][i]=t[2][i]=T[0][i]=T[1][i]=0;for(ll i=0;i<=r-l+1;i++)t[0][i]=h[0][i],t[1][i]=h[1][i],t[2][i]=h[2][i];for(ll i=0;i<=mid-l;i++)T[0][i]=f[0][i+l],T[1][i]=f[1][i+l];NTT(t[0],1);NTT(t[1],1);NTT(t[2],1);NTT(T[0],1);NTT(T[1],1);for(ll i=0;i<m;i++){z[0][i]=t[0][i]*T[0][i]%P,z[1][i]=t[1][i]*T[1][i]%P;z[2][i]=t[1][i]*T[0][i]%P,z[3][i]=t[2][i]*T[1][i]%P;}NTT(z[0],-1);NTT(z[1],-1);NTT(z[2],-1);NTT(z[3],-1);for(ll i=0;i<=r-l+1;i++){if(l+i+1>mid&&l+i+1<=r){f[0][l+i+1]=(f[0][l+i+1]+z[0][i])%P;f[1][l+i+1]=(f[1][l+i+1]+z[2][i])%P;}if(l+i+3>mid&&l+i+3<=r){f[0][l+i+3]=(f[0][l+i+3]+z[1][i])%P;f[1][l+i+3]=(f[1][l+i+3]+z[3][i])%P;}}CDQ(mid+1,r);return; } void solve(ll l,ll r){if(l==r){(f[2][l]+=h[2][l])%=P;return;}ll mid=(l+r)>>1;solve(l,mid);Glen((r-l+1)*2);for(ll i=0;i<m;i++)t[1][i]=t[2][i]=T[0][i]=T[1][i]=0;for(ll i=0;i<=r-l+1;i++)t[1][i]=h[1][i],t[2][i]=h[2][i];for(ll i=0;i<=mid-l;i++)T[0][i]=f[1][l+i],T[1][i]=f[2][l+i];NTT(t[1],1);NTT(t[2],1);NTT(T[0],1);NTT(T[1],1);for(ll i=0;i<m;i++){z[0][i]=t[1][i]*T[0][i]%P;z[1][i]=t[2][i]*T[1][i]%P;}NTT(z[0],-1);NTT(z[1],-1);for(ll i=0;i<r-l+1;i++){if(l+i+1>mid&&l+i+1<=r)(f[2][l+i+1]+=z[0][i])%=P;if(l+i+3>mid&&l+i+3<=r)(f[2][l+i+3]+=z[1][i])%=P;}solve(mid+1,r);return; } signed main() {freopen("a.in","r",stdin);freopen("a.out","w",stdout);scanf("%lld",&n);g[0]=g[2]=1;for(ll i=4;i<=n;i++)g[i]=(g[i-4]+g[i-2])%P;for(ll i=0;i<=n;i++){h[0][i]=g[i]*i%P*i%P;h[1][i]=g[i]*(i+1)%P*(i+1)%P;h[2][i]=g[i]*(i+2)%P*(i+2)%P;}CDQ(0,n);solve(0,n);ll ans=(g[n-1]+g[n-3])*(n-1)%P*(n-1)%P*n%P;for(ll i=2;i<n-1;i++){ll tmp=g[i-1]*f[0][n-i-1]%P;tmp=(tmp+2*g[i-2]*f[1][n-i-2]%P)%P;tmp=(tmp+g[i-3]*f[2][n-i-3]%P)%P;tmp=tmp*i%P*(i-1)%P*(i-1)%P;ans=(ans+tmp)%P;}printf("%lld\n",ans);return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的CF848E-Days of Floral Colours【dp,分治NTT】的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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