正題

題目鏈接:https://www.luogu.com.cn/problem/P4389

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題目大意

$n$種物品，第$i$種大小為$v_i$，數(shù)量無限。對于每個$s\in [1,m]$求剛好填滿$s$容量的方案數(shù)。

$1\le n,m\le 10^5$

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解題思路

統(tǒng)計和為一定值的方案數(shù)，好像可以生成函數(shù)做？

每種物品大小$v$有一個生成函數(shù)
$$F(x)=\sum _{i\ge 0}{x}^{i\times v}=\frac{1}{1?x^v}$$
然后所有生成函數(shù)乘起來就好了，但這樣是$O(n^2\log n)$的比暴力還慢…

乘起來比較慢，如果$ln$之后改成加法就好了，但是$ln$也是$O(n)$的。不過我們的式子比較特殊，對于$ln$之后求個導(dǎo)就會有神器的結(jié)果
$$l{n}^{\prime }(1?x^v)=\frac{(1?x^v{)}^{\prime }}{1?x^v}=\frac{?v\times x^{v?1}}{1?x^v}$$
$$=?v\sum _{i\ge 0}{x}^{v?1+v\times i}$$
然后在積分回去就是
$$?\sum _{i\ge 0}\frac{x^{v+v\times i}}{i}=?\sum _{i\ge 1}\frac{x^{v\times i}}{i}$$
然后記錄每個大小的物品出現(xiàn)了多少次，之后$O(m\log m)$加系數(shù)，然后再$exp+$求逆回去就好了。

時間復(fù)雜度$O(n+m\log m)$

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code

#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #define ll long long using namespace std; const ll N=4e5+10,P=998244353; ll n,c,l,r[N],f[N],v[N],inv[N]; ll t1[N],t2[N],t3[N],t4[N],t5[N],t6[N]; ll power(ll x,ll b){ll ans=1;while(b){if(b&1)ans=ans*x%P;x=x*x%P;b>>=1;}return ans; } void Glen(ll m){n=1;while(n<=m)n<<=1;for(ll i=0;i<n;i++)r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)?(n>>1):0);return; } void NTT(ll *f,ll op){for(ll i=0;i<n;i++)if(i<r[i])swap(f[i],f[r[i]]);for(ll p=2;p<=n;p<<=1){ll len=p>>1,tmp=power(3,(P-1)/p);if(op==-1)tmp=power(tmp,P-2);for(ll k=0;k<n;k+=p){ll buf=1;for(ll i=k;i<k+len;i++){ll tt=f[i+len]*buf%P;f[i+len]=(f[i]-tt+P)%P;f[i]=(f[i]+tt)%P;buf=buf*tmp%P;}}}if(op==-1){ll inv=power(n,P-2);for(ll i=0;i<n;i++)f[i]=f[i]*inv%P;}return; } void GetInv(ll *f,ll *g,ll m){if(m==1){g[0]=power(f[0],P-2);return;}GetInv(f,g,m>>1);Glen(m);for(ll i=0;i<m;i++)t1[i]=f[i],t2[i]=g[i];NTT(t1,1);NTT(t2,1);for(ll i=0;i<n;i++)t1[i]=t1[i]*t2[i]%P*t2[i]%P;NTT(t1,-1);for(ll i=0;i<m;i++)g[i]=(g[i]*2-t1[i]+P)%P;for(ll i=0;i<n;i++)t1[i]=t2[i]=0;return; } void GetD(ll *f,ll *g,ll n){for(ll i=0;i<n-1;i++)g[i]=f[i+1]*(i+1)%P;g[n-1]=0;return; } void GetJ(ll *f,ll *g,ll n){for(ll i=n-1;i>0;i--)g[i]=f[i-1]*power(i,P-2)%P;g[0]=0;return; } void GetLn(ll *f,ll *g,ll m){Glen(m);GetD(f,t3,n);GetInv(f,t4,n);Glen(m);Glen(n);NTT(t3,1);NTT(t4,1);for(ll i=0;i<n;i++)t3[i]=t3[i]*t4[i];NTT(t3,-1);GetJ(t3,g,n);for(ll i=0;i<n;i++)t3[i]=t4[i]=0;return; } void GetExp(ll *f,ll *g,ll m){if(m==1){g[0]=1;return;}GetExp(f,g,m>>1);GetLn(g,t5,m);Glen(m);for(ll i=0;i<m;i++)t6[i]=f[i];for(ll i=m;i<n;i++)t5[i]=0;NTT(t5,1);NTT(t6,1);NTT(g,1);for(ll i=0;i<n;i++)g[i]=g[i]*(1-t5[i]+t6[i]+P)%P;NTT(g,-1);for(ll i=m;i<n;i++)g[i]=0;return; } signed main() {scanf("%lld%lld",&c,&l);inv[1]=1;for(ll i=2;i<N;i++)inv[i]=P-(P/i)*inv[P%i]%P;for(ll i=1;i<=c;i++){ll x;scanf("%lld",&x);v[x]++;}Glen(l);for(ll i=l;i>=1;i--){ll w=v[i];v[i]=0;for(ll j=i;j<n;j+=i)(v[j]+=w*(P-inv[j/i])%P)%=P;}ll p=n;GetExp(v,f,n);for(ll i=0;i<n;i++)v[i]=0;GetInv(f,v,n);for(ll i=1;i<=l;i++)printf("%lld\n",v[i]);return 0; }

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的P4389-付公主的背包【生成函数,多项式exp】的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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