正題

題目鏈接:https://www.luogu.com.cn/problem/P4345

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題目大意

$T$組詢問，給出$n,k$求
$$\sum _{i=0}^k\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i}\right)$$
對$2333$取模的值

$1\le T\le 10^5,1\le k\le n\le 10^{18}$

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解題思路

因為模數很小，可以考慮用$Lucas$定理，然后考慮怎么優化復雜度。
對于給出的$n,k$分成兩個部分，第一部分是由$k$前面若干段長度為$P$的整段構成，這一部分的答案我們發現對于$C_{?\frac{n}{P}?}^{?\frac{m}{P}?}\times C_{m\%p}^{n\%p}$這兩個值，后面那一個值的和是確定的，是${\sum }_{i=1}^k{C}_{n\%p}^k$，前面那一部分的值我們可以遞歸下去計算。

然后第二部分是剩下的散段，這個部分我們也是自直接遞歸下去算就可以了

時間復雜度$O(T\log n)$

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code

#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #define ll long long using namespace std; const ll P=2333; ll n,k,t,S[P][P],C[P][P]; ll Lucas(ll n,ll k){if(!k)return 1ll;if(!C[n%P][k%P])return 0;return Lucas(n/P,k/P)*C[n%P][k%P]%P; } ll solve(ll n,ll k){if(k<0)return 0;if(n<P)return S[n][min(n,k)];ll tmp=solve(n/P,k/P-1)*S[n%P][n%P]%P;tmp=(tmp+solve(n%P,k%P)*Lucas(n/P,k/P)%P)%P;return tmp; } signed main() {C[0][0]=S[0][0]=1;for(ll i=1;i<P;i++)for(ll j=0;j<=i;j++)C[i][j]=((j?C[i-1][j-1]:0)+C[i-1][j])%P;for(ll i=1;i<P;i++){S[i][0]=C[i][0];for(ll j=1;j<=i;j++)(S[i][j]=S[i][j-1]+C[i][j])%=P;}scanf("%lld",&t);while(t--){scanf("%lld%lld",&n,&k);printf("%lld\n",solve(n,k));}return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的P4345-[SHOI2015]超能粒子炮·改【Lucas定理,类欧】的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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