正題

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題目大意

給出$3$個(gè)長(zhǎng)度為$n$的排列$A,B,C$。然后一個(gè)下標(biāo)集合$S$的三元組是
$$(max\{A_i\},max\{B_i\},max\{C_i\})(i\in S)$$

求所有下標(biāo)集合不同的三元組數(shù)量
$1\le n\le 10^5$

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解題思路

所有下標(biāo)集合的三元組都能用一個(gè)$|S|\le 3$的集合代替，所以我們只考慮$|S|\le 3$的就好了。

$|S|=1$的個(gè)數(shù)就是$n$，直接累加即可。

$|S|=2$的話，那就代表某個(gè)下標(biāo)霸占了兩個(gè)最大值，而另一個(gè)一定是另一個(gè)下標(biāo)的，如果是$a,b$最大，那么我們就要找滿足$a_i>a_j,b_i>a_j,c_i<c_j$的方案，用三維偏序就好了。

然后$a,c$和$b,c$的情況也都要做

$|S|=3$的話很麻煩，考慮容斥，總方案$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{3}\right)$減去有一個(gè)下標(biāo)是至少兩個(gè)的最大值。
同樣和上面，先考慮$a,b$，假設(shè)下標(biāo)$i$滿足$a_i>a_j,b_i>b_j$的情況有$k$種，那么就好有$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{2}\right)$種情況使得$i$占據(jù)了至少兩個(gè)最大值。
同理$a,c$和$b,c$也要做，這是二維偏序，直接樹(shù)狀數(shù)組就好了。

但是發(fā)現(xiàn)對(duì)于$i$占據(jù)了三個(gè)最大值的情況我們統(tǒng)計(jì)了三次，需要加回多余的兩次，那么統(tǒng)計(jì)$a_i>a_j,b_i>b_j,c_i>c_j$的個(gè)數(shù)$k$，然后加回$k(k?1)$的方案就好了，這個(gè)也要三維偏序

代碼里三維偏序用的是$CDQ$分治+樹(shù)狀數(shù)組

時(shí)間復(fù)雜度$O(n{\log }^{2}n)$

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code

#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #define ll long long #define lowbit(x) (x&-x) using namespace std; const ll N=1e5+10; struct node{ll a,b,c; }w[N],a[N],b[N]; ll n,ans,sum,t[N],g[N]; void Change(ll x,ll val){while(x<=n){t[x]+=val;x+=lowbit(x);}return; } ll Ask(ll x){ll ans=0;while(x){ans+=t[x];x-=lowbit(x);}return ans; } void Merge(ll l,ll mid,ll r){ll p=l,q=mid+1;for(ll i=1;i<=r-l+1;i++){if(p<=mid&&w[p].b<=w[q].b||q>r)b[i]=w[p],p++;else b[i]=w[q],q++;}for(ll i=1;i<=r-l+1;i++)w[l+i-1]=b[i];return; } void CDQ(ll l,ll r,bool op){if(l==r)return;ll mid=(l+r)>>1;CDQ(l,mid,op);CDQ(mid+1,r,op);ll p=l,tmp;for(ll i=mid+1;i<=r;i++){while(p<=mid&&w[p].b<w[i].b)Change(w[p].c,1),p++;sum+=(tmp=Ask(w[i].c));g[w[i].a]+=(op?tmp:0);}for(ll i=l;i<p;i++)Change(w[i].c,-1);Merge(l,mid,r);return; } bool cmp(node x,node y) {return x.a<y.a;} void solve(){sort(w+1,w+1+n,cmp);for(ll i=1;i<=n;i++){ll tmp=Ask(w[i].b);ans-=tmp*(tmp-1)/2;Change(w[i].b,1);}memset(t,0,sizeof(t));return; } signed main() {freopen("subset.in","r",stdin);freopen("subset.out","w",stdout);scanf("%lld",&n);ans=n;for(ll i=1;i<=n;i++)scanf("%lld",&a[i].a);for(ll i=1;i<=n;i++)scanf("%lld",&a[i].b);for(ll i=1;i<=n;i++)scanf("%lld",&a[i].c);for(ll i=1;i<=n;i++)w[i].a=a[i].a,w[i].b=a[i].b,w[i].c=n-a[i].c+1;sort(w+1,w+1+n,cmp);CDQ(1,n,0);for(ll i=1;i<=n;i++)w[i].a=a[i].a,w[i].b=a[i].c,w[i].c=n-a[i].b+1;sort(w+1,w+1+n,cmp);CDQ(1,n,0);for(ll i=1;i<=n;i++)w[i].a=a[i].b,w[i].b=a[i].c,w[i].c=n-a[i].a+1;sort(w+1,w+1+n,cmp);CDQ(1,n,0);ans+=sum;ans+=n*(n-1)*(n-2)/6;for(ll i=1;i<=n;i++)w[i].a=a[i].a,w[i].b=a[i].b;solve();for(ll i=1;i<=n;i++)w[i].a=a[i].b,w[i].b=a[i].c;solve();for(ll i=1;i<=n;i++)w[i].a=a[i].a,w[i].b=a[i].c;solve();for(ll i=1;i<=n;i++)w[i].a=a[i].a,w[i].b=a[i].b,w[i].c=a[i].c;sort(w+1,w+1+n,cmp);CDQ(1,n,1);for(ll i=1;i<=n;i++)ans+=g[i]*(g[i]-1);printf("%lld\n",ans); }

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的YbtOJ#791-子集最值【三维偏序】的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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