正題

題目鏈接:https://www.luogu.com.cn/problem/CF755G

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題目大意

$n$個東西排成一排，每個組可以選擇一個單獨的物品或者兩個連續的物品，一個物品不同同時在兩個組里，但是可以不在組里。對于$i\in [1,k]$求分成$i$組的方案數。

$1\le n\le 10^9,1\le k<2^{15}$

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解題思路

有三種方法。

第一種是倍增$FFT$，設$f_{i,j}$表示到第$i$個物品選了$j$組時的方案數，那么設$F_n(x)={\sum }_{i=0}^k{f}_{n,i}{x}^i$。
考慮把這個$F$分成兩半，然后考慮中間的選不選就是
$$F_{n+m}(x)=F_n(x)F_m(x)+x{F}_{n?1}(x)F_{m?1}(x)$$
我們發現如果需要計算$F_{2^k}$，那么我們就需要維護$F_{2^{k?1}},F_{2^{k?1}?1},F_{2^{k?1}?2}$這三個東西。
但是這三個東西也可以用來計算$F_{2^k?1},F_{2^k?2}$，所以可以維護這三個東西就行倍增。

然后處理的時候同理維護一個$F_m$和$F_{m?1}$就好了。

時間復雜度$O(n{\log }^{2}n)$，有點卡常
…

第二種方法是直接組合數學推導。將這個序列提出若干段，每一段之間間隔為$1$，那么只有最末尾的段能夠長度為$2$的。
$$an{s}_k=\sum _{i=1}^k\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n?i}{k}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{i}\right)$$
瓶頸在于后面的$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{i}\right)$，也就是要求前后沒有重復，所以我們可以考慮允許重復的容斥
$$?an{s}_k=\sum _{i=1}^k(?1{)}^i(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{i}\left)\right(\genfrac{}{}{0ex}{}{n?i}{k?i})2^{k?i}$$
$$?\sum _{i=1}^k(?1{)}^i\frac{k!}{i!(k?i)!}\frac{(n?i)!}{(k?i)!(n?k)!}{2}^{k?i}$$
$$\frac{k!}{(n?k)!}\sum _{i=1}^k\frac{(?1{)}^i(n?i)!}{i!}\times \frac{2^{k?i}}{(k?i){!}^2}$$
就可以卷積了，時間復雜度$O(n\log n)$
…

第三種方法是特征方程，回到第一個方法的$F_n(x)$，我們有
$$f_{i,j}=f_{i?1,j}+f_{i?1,j?1}+f_{i?2,j?1}$$
$$?F_n(x)=(1+x)F_{n?1}(x)+x{F}_{n?2}(x)$$
這是一個二次項的遞推式，過程就不在論述了，用特征方程化簡可以得到
$$F_n(x)=\frac{(\frac{x+1?\sqrt{x^2+6x+1}}{2}{)}^{n+1}}{\sqrt{x^2+6x+1}}(mod{x}^{n+1})$$
然后上全家桶就好了，時間復雜度也是$O(n\log n)$

這里的標程用的是第一種方法。

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code

#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #define int long long using namespace std; const int N=1<<16,P=998244353; int n,k,m,r[N],f[3][N],t[3][N],g[2][N]; void fm(int &x){x+=x>>31&P;} int power(int x,int b){int ans=1;while(b){if(b&1)ans=ans*x%P;x=x*x%P;b>>=1;}return ans; } void NTT(int *f,int op){for(int i=0;i<n;i++)if(i<r[i])swap(f[i],f[r[i]]);for(int p=2;p<=n;p<<=1){int tmp=power(3,(P-1)/p),len=p>>1;if(op==-1)tmp=power(tmp,P-2);for(int k=0;k<n;k+=p){int buf=1;for(int i=k,tt;i<(k|len);i++){tt=1ll*buf*f[i|len]%P;fm(f[i|len]=f[i]-tt);fm(f[i]=f[i]+tt-P);buf=1ll*buf*tmp%P;}}}if(op==-1){int invn=power(n,P-2);for(int i=0;i<n;i++)f[i]=1ll*f[i]*invn%P;}return; } void print(int x) {if(x>9)print(x/10);putchar(x%10+'0');return;} signed main() {scanf("%d%d",&m,&k);k++;n=1;while(n<(k*2))n<<=1;for(int i=0;i<n;i++)r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)?(n>>1):0);f[0][0]=f[0][1]=f[1][0]=g[0][0]=1;for(int d=1;d<=m;d<<=1){if(m&d){for(int j=0;j<3;j++){for(int i=0;i<n;i++)t[j][i]=(i<k)?f[j][i]:0;NTT(t[j],1);}NTT(g[0],1);NTT(g[1],1);for(int i=0;i<n;i++){int b0=g[0][i],b1=g[1][i];g[0][i]=1ll*b0*t[0][i]%P;g[1][i]=1ll*b0*t[1][i]%P;t[0][i]=1ll*t[1][i]*b1%P;t[1][i]=1ll*t[2][i]*b1%P;}NTT(g[0],-1);NTT(g[1],-1);NTT(t[0],-1);NTT(t[1],-1);for(int i=0;i<k-1;i++)(g[0][i+1]+=t[0][i])%=P,(g[1][i+1]+=t[1][i])%=P;for(int i=k;i<n;i++)g[0][i]=g[1][i]=0;}if(d*2>m)break;for(int j=0;j<3;j++){for(int i=0;i<n;i++)t[j][i]=(i<k)?f[j][i]:0;NTT(t[j],1);}for(int i=0;i<n;i++){f[0][i]=1ll*t[0][i]*t[0][i]%P;f[1][i]=1ll*t[1][i]*t[0][i]%P;f[2][i]=1ll*t[1][i]*t[1][i]%P;t[0][i]=1ll*t[1][i]*t[1][i]%P;t[1][i]=1ll*t[1][i]*t[2][i]%P;t[2][i]=1ll*t[2][i]*t[2][i]%P;}for(int j=0;j<3;j++)NTT(f[j],-1),NTT(t[j],-1);for(int i=0;i<k-1;i++)(f[0][i+1]+=t[0][i])%P,(f[1][i+1]+=t[1][i])%P,(f[2][i+1]+=t[2][i])%P;for(int i=k;i<n;i++)f[0][i]=f[1][i]=f[2][i]=0;}for(int i=1;i<k;i++)print(g[0][i]),putchar(' ');return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的CF755G-PolandBall and Many Other Balls【倍增FFT】的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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