正題

題目鏈接:http://noi.ac/problem/2139

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題目大意

給出$n$個數字的序列$a_i$。然后選出一個不降子序列最大化子序列的$a_i$和減去沒有任何一個數被選中的區間數量。

$1\le n\le 10^6,1\le a_i\le 10^8$

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解題思路

嗯，考慮樸素的$dp$方程，設$f_i$表示以$i$為末尾的值就有
$$f_i=f_j+a_i+\frac{(i?j?1)(i?j)}{2}$$
然后展開整理一下都乘二就是
$$f_i=f_j+2a_i+i^2?i+j^2+j?2ij(a_j\le a_i,j<i)$$

除了$a_j\le a_i$就是一個標準的斜率優化式子了

然后這個東西其實挺好搞的，因為多一個限制直接上$CDQ$就好了，但是每次左邊要歸并排序，這樣時間復雜度就是$O(n\log n)$的了

但其實還有更暴力的做法，因為既然一個$CDQ$能做到，那么找些數據結構之類的也肯定能做到。

對于樹狀數組上每個節點維護一個凸殼然后暴力查詢就好了

時間復雜度$O(n\log n)$

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code

#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #include<vector> #define ll long long #define lowbit(x) (x&-x) using namespace std; const ll N=1e6+10; ll n,m,a[N],b[N],l[N],r[N],f[N],k[N]; vector<ll >q[N]; ll calc(ll i,ll j) {return k[i]+2*i*j;} void Change(ll x,ll i){while(x<=m){while(l[x]<r[x]&&(k[i]-k[q[x][r[x]]])*(q[x][r[x]]-q[x][r[x]-1])>=(k[q[x][r[x]]]-k[q[x][r[x]-1]])*(i-q[x][r[x]]))r[x]--,q[x].pop_back();q[x].push_back(i);r[x]++;x+=lowbit(x);}return; } ll Ask(ll x,ll i){ll ans=-1e18;while(x){while(l[x]<r[x]&&calc(q[x][l[x]],i)<calc(q[x][l[x]+1],i))l[x]++;if(l[x]<=r[x])ans=max(ans,calc(q[x][l[x]],i));x-=lowbit(x);}return ans; } signed main() {scanf("%lld",&n);for(ll i=1;i<=n;i++)scanf("%lld",&a[i]),b[i]=a[i];sort(b+1,b+1+n);m=unique(b+1,b+1+n)-b-1;for(ll i=1;i<=m;i++)r[i]=-1;Change(1,0);for(ll i=1;i<=n;i++){ll x=lower_bound(b+1,b+1+m,a[i])-b;f[i]=Ask(x,i)+2*a[i]-i*i+i;k[i]=f[i]-i*i-i;Change(x,i);}ll ans=-1e18;for(ll i=1;i<=n;i++)ans=max(ans,f[i]/2-(n-i+1)*(n-i)/2);printf("%lld\n",ans);return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的NOI.AC#2139-选择【斜率优化dp,树状数组】的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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