正題

題目鏈接:https://www.luogu.com.cn/problem/P7099

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題目大意

給出$n$個坐標軸上的點，$q$次詢問從某點出發每次等概率向左或者向右一格求到達某個給出點的期望步數。
保證每個詢問點左右都有目標點

$1\le n\le 10^5,1\le q\le 5\times 10^6,1\le x_i,y_i\le 10^9$

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解題思路

每個詢問具體分析，離左邊點的距離為$l$，右邊點的距離為$r$
設$f_i$表示從$i$出發到達終點的期望距離，那么有
$$f_i=\frac{f_{i?1}+f_{i+1}}{2}+1$$
然后$f_{?l}=f_r=0$然后求$f_0$。

然后拆出來
$$2f_i=f_{i?1}+f_{i+1}+2$$
$$(f_{i+1}?f_i)?(f_i?f_{i?1})=?2$$
也就是$f$數組兩次差分是一個常數，所以說$f$可以被表示成一個二次函數，設$f_x=a{x}^2+bx+c$，那么$f_x^{\prime }=f_x?f_{x?1}=2ax?a+b$，然后$f_x^{\prime \prime }=f_x^{\prime }?f_{x?1}^{\prime }=2a=?2$，所以$f_x=?x^2+bx+c$。

因為知道零點$\{\begin{array}{c}?(?l{)}^2+b(?l)+c=0\\ ?r^2+br+c=0\end{array}$，所以解出來$\{\begin{array}{c}b=r?l\\ c=l\times r\end{array}$

所以其實答案就是$l\times r$

時間復雜度$O(n\log n)$

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code

#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #include<cctype> using namespace std; const int N=1e5+10,P=998244353; int T,n,q,a[N]; int read(){int x=0,f=1;char c=getchar();while(!isdigit(c)){if(c=='-')f=-f;c=getchar();}while(isdigit(c)){x=(x<<1)+(x<<3)+c-'0';c=getchar();}return x*f; } int main() {T=read();n=read();q=read();for(int i=1;i<=n;i++)a[i]=read();sort(a+1,a+1+n);int k=1,p1=0,p2=0,p3=0,p4=2147483647;for(int i=1;i<=q;i++){int x=read();while(k<n&&a[k]<x)k++;int ans=1ll*(a[k]-x)*(x-a[k-1])%P;p1^=ans;p2+=(ans&1);p3=max(p3,ans);p4=min(p4,ans);}printf("%d\n%d\n%d\n%d",p1,p2,p3,p4);return 0; }

總結

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