正題

題目鏈接:https://loj.ac/p/6247

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題目大意

給出$n,k$求
$$\sum _{0\le i\le n,i|k}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i}\right)$$
對$998244353$取模

$1\le n\le 10^{15},1\le k\le 2^{20},k=2^p(p\in N)$

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解題思路

隨便找的一題竟然是單位根反演，不過很基礎而且很裸。

首先單位根反演的式子$[i|k]=\frac{1}{k}{\sum }_{j=0}^{k?1}{\omega }_k^{i\times j}$

然后帶到這題的式子就是
$$\sum _{i=0}^n\frac{1}{k}\sum _{j=0}^{k?1}{\omega }_k^{i\times j}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i}\right)$$
然后把$j$提出來
$$\frac{1}{k}\sum _{j=0}^{k?1}\sum _{i=0}^n({\omega }_k^i{)}^j(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})$$
然后二項式定理
$$\frac{1}{k}\sum _{j=0}^{k?1}({\omega }_k^i+1{)}^n$$

額但是$n$很大直接用復數精度肯定會炸，但是$998244353?1=2^{23}\times 7\times 17$…又因為$k=2^p$，其實就是類似于$NTT$的思路我們直接用原根${\omega }_k^1=g^{\frac{P?1}{k}}$就好了。

時間復雜度$O(k\log n)$

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code

#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #define ll long long using namespace std; const ll P=998244353; ll n,k,ans; ll power(ll x,ll b){ll ans=1;while(b){if(b&1)ans=ans*x%P;x=x*x%P;b>>=1;}return ans; } signed main() {scanf("%lld%lld",&n,&k);ll g=power(3,(P-1)/k),z=1;for(ll i=0;i<k;i++,z=z*g%P)(ans+=power(z+1,n)%P)%=P;printf("%lld\n",ans*power(k,P-2)%P);return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的Loj#6247-九个太阳【单位根反演】的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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