正題

題目鏈接:https://www.luogu.com.cn/problem/P4233

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題目大意

隨機選擇一條有哈密頓回路的$n$個點的競賽圖，求選出圖的哈密頓回路的期望個數。

對于每個$n\in [1,N]$求答案。

$1\le N\le 10^5$

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解題思路

竟然自己推出來了淚目( ? ^ ? )

如果是統計所以的哈密頓回路個數是一個很簡單的題目，我們可以求出$n$的一個圓排列表示一條回路，然后剩下的邊隨便排即可。也就是$(n?1)!\times 2^{\frac{n(n?1)}{2}?n}$條哈密頓路，但是因為求的是期望所以我們還得求出有哈密頓回路的競賽圖個數，然后有一個結論就是如果一個競賽圖是一個強連通分量那么這個圖就一定存在哈密頓回路。

這個是問題所在，我們可以考慮用城市規劃的推法，設$f_i$表示$i$個點是強連通分量的競賽圖個數。
那么有
$$2^{\frac{n(n?1)}{2}}=2\sum _{i=0}^{n?1}{2}^{\frac{i(i?1)}{2}}{f}_{n?i}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i}\right)$$
但是注意$n=0$的時候要特別處理算出來為$1$。

化一下式子有
$$2^{\frac{n(n?1)}{2}}=2\sum _{i=0}^{n?1}{2}^{\frac{i(i?1)}{2}}{f}_{n?i}\frac{n!}{i!(n?i)!}$$
$$\frac{2^{\frac{n(n?1)}{2}}}{n!}=\sum _{i=0}^{n?1}\frac{2^{\frac{i(i?1)}{2}}}{i!}\frac{2f_{n?i}}{(n?i)!}$$
設$F={\sum }_{i=0}^{\infty }\frac{2f_i}{i!},G={\sum }_{i=0}^{\infty }\frac{2^{\frac{i(i?1)}{2}}}{i!}$，那么有
$$G=FG+1?F=\frac{G?1}{G}$$

上多項式求逆就可以求出$f$了。

時間復雜度$O(n\log n)$

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code

#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #define ll long long using namespace std; const ll N=131072,M=N<<1,P=998244353; ll n,fac[M],G[M],H[M],r[M],tmp[M]; ll power(ll x,ll b){ll ans=1;while(b){if(b&1)ans=ans*x%P;x=x*x%P;b>>=1;}return ans; } void NTT(ll *f,ll n,ll op){for(ll i=0;i<n;i++)if(i<r[i])swap(f[i],f[r[i]]);for(ll p=2;p<=n;p<<=1){ll len=(p>>1),tmp=power(3,(P-1)/p);if(op==-1)tmp=power(tmp,P-2);for(ll k=0;k<n;k+=p){ll buf=1;for(ll i=k;i<k+len;i++){ll tt=buf*f[i+len]%P;f[i+len]=(f[i]-tt+P)%P;f[i]=(f[i]+tt)%P;buf=buf*tmp%P;}}}if(op==-1){ll invn=power(n,P-2);for(ll i=0;i<n;i++)f[i]=f[i]*invn%P;}return; } void GetInv(ll n,ll *f,ll *g){if(!n){g[0]=power(f[0],P-2);return;}GetInv(n>>1,f,g);ll m=n<<1;for(ll i=0;i<n;i++)tmp[i]=f[i];for(ll i=0;i<m;i++)r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)?(m>>1):0);NTT(tmp,m,1);NTT(g,m,1);for(ll i=0;i<m;i++)g[i]=(2*g[i]-tmp[i]*g[i]%P*g[i]%P+P)%P;NTT(g,m,-1);for(ll i=n;i<m;i++)g[i]=0;return; } signed main() {scanf("%lld",&n);fac[0]=1;for(ll i=1;i<N;i++)fac[i]=fac[i-1]*i%P;for(ll i=0;i<N;i++)G[i]=power(2,i*(i-1)/2ll)*power(fac[i],P-2)%P;GetInv(N,G,H);G[0]--;NTT(G,M,1);NTT(H,M,1);for(ll i=0;i<M;i++)G[i]=G[i]*H[i]%P;NTT(G,M,-1);for(ll i=1;i<=n;i++){if(i==1){puts("1");continue;}G[i]=G[i]*fac[i]%P;if(!G[i]){puts("-1");continue;}ll ans=fac[i-1]*power(2,i*(i-1)/2ll-i)%P;printf("%d\n",ans*power(G[i],P-2)%P);}return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的P4233-射命丸文的笔记【NTT,多项式求逆】的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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